Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles.
Conteúdo envolvido:
- Cálculo de derivadas parciais: para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função em relação a
e . - Classificação de pontos críticos: depois de encontrar os pontos, vamos ver se eles são mínimos, máximos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.
Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver cada equação separadamente.
Primeiro, para
:
Então:
Agora, para
:
Então:
Passo 5
Com isso, temos as combinações de
e
que tornam ambas as derivadas iguais a zero. São elas:
-
e ponto -
e ponto -
e ponto -
e ponto
Passo 6
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico.
Passo 7
Vamos avaliar
,
e
em cada ponto:
-
Ponto
: Comoe , é um mínimo local. -
Ponto
: Como, é um ponto de sela. -
Ponto
: Como, é um ponto de sela. -
Ponto
: Comoe , é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
⇒ Mínimo Local -
⇒ Ponto de Sela -
⇒ Ponto de Sela -
⇒ Máximo Local