Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles.
Conteúdo envolvido:
  • Cálculo de derivadas parciais: para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função em relação a e .
  • Classificação de pontos críticos: depois de encontrar os pontos, vamos ver se eles são mínimos, máximos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.
Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver cada equação separadamente.
Primeiro, para :
Então:
Agora, para :
Então:

Passo 5

Com isso, temos as combinações de e que tornam ambas as derivadas iguais a zero. São elas:
  1. e ponto
  2. e ponto
  3. e ponto
  4. e ponto

Passo 6

Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular em cada ponto crítico.

Passo 7

Vamos avaliar , e em cada ponto:
  1. Ponto :
    Como e , é um mínimo local.
  2. Ponto :
    Como , é um ponto de sela.
  3. Ponto :
    Como , é um ponto de sela.
  4. Ponto :
    Como e , é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • Mínimo Local
  • Ponto de Sela
  • Ponto de Sela
  • Máximo Local

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
Seja , onde é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de para os quais podemos afirmar que é extremo absoluto (global) de ?
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com de papelão.
Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição .