Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles.
Conteúdo envolvido:
- Cálculo de derivadas parciais: para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função em relação a
e . - Classificação de pontos críticos: depois de encontrar os pontos, vamos ver se eles são mínimos, máximos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.
Vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver cada equação separadamente.
Primeiro, para
:
Então:
Agora, para
:
Então:
Passo 5
Com isso, temos as combinações de
e
que tornam ambas as derivadas iguais a zero. São elas:
-
e ponto -
e ponto -
e ponto -
e ponto
Passo 6
Agora, vamos classificar cada ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico.
Passo 7
Vamos avaliar
,
e
em cada ponto:
-
Ponto
: Comoe , é um mínimo local. -
Ponto
: Como, é um ponto de sela. -
Ponto
: Como, é um ponto de sela. -
Ponto
: Comoe , é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
⇒ Mínimo Local -
⇒ Ponto de Sela -
⇒ Ponto de Sela -
⇒ Máximo Local
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
f)
Seja
, onde
é uma constante.
b) Para cada valor de , classifique o ponto crítico
com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de
para os quais podemos afirmar que
é extremo absoluto (global) de
?
b) Para cada valor de
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com
de papelão.
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição
.
b)