Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
k) f(x, y) = -x^4 + 2*x^2 - y^2 - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a segunda equação primeiro:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para :
Isso nos dá:

Passo 6

Então, os pontos críticos são:

Passo 7

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 8

Vamos avaliar o discriminante em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
Quando , o ponto é ponto de sela.
  1. Ponto (1, 0):
E , então o ponto é um máximo local.
  1. Ponto (-1, 0):
E , então o ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são que é um ponto de sela, e e que são máximos locais.

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