Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. São os pontos
onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a segunda equação primeiro:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para
:
Isso nos dá:
Passo 6
Então, os pontos críticos são:
Passo 7
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Passo 8
Vamos avaliar o discriminante
em cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Quando
, o ponto é ponto de sela.
- Ponto (1, 0):
E
, então o ponto é um máximo local.
- Ponto (-1, 0):
E
, então o ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são
que é um ponto de sela, e
e
que são máximos locais.