Seja e .
b) Faça e ache os extremos de no triângulo (fronteira e interior) de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os extremos dela dentro de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e também analisar os limites do triângulo para garantir que não estamos perdendo nenhum extremo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do triângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora, para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Resolvendo a primeira equação , temos duas possibilidades:

Passo 4

Vamos analisar cada caso separadamente:
Caso 1:
Substituímos na segunda equação:
Isso nos dá ou . Como estamos dentro do triângulo com de 0 a 3, consideramos e .
Portanto, temos os pontos críticos:
Caso 2:
Substituímos na segunda equação:
Então, os pontos críticos são:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se esses pontos críticos estão dentro do triângulo. Os pontos , , e estão todos dentro do triângulo definido pelos vértices , e .

Passo 6

Além dos pontos críticos internos, devemos analisar os extremos nas arestas do triângulo. As arestas são:
  1. De a : , com
  2. De a : , com
  3. De a : , com
Vamos analisar cada aresta:
Aresta 1:
Substituímos na função:
Derivamos em relação a e igualamos a zero para encontrar extremos:
Resolvendo, temos e ou . Dentro do intervalo , consideramos e .
Então, pontos a considerar:
Aresta 2:
Substituímos na função:
Derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo, temos e ou . Dentro do intervalo , consideramos e .
Então, pontos a considerar:
Aresta 3:
Substituímos na função:
Isso é uma parábola com concavidade para cima, então o mínimo ocorre em . Assim, o ponto a considerar é .

Passo 7

Agora, vamos listar todos os pontos que encontramos e calcular o valor de em cada um deles:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :

Resposta

Os extremos da função no triângulo dado são:
  • Mínimo absoluto:
  • Máximo absoluto:

Exercícios relacionados

Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição .
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com de papelão.
Mostre que a função possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que não possui ponto de mínimo absoluto.