Seja
e
.
b) Faça
e ache os extremos de
no triângulo (fronteira e interior) de vértices
e
.
b) Faça
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os extremos dela dentro de um triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e também analisar os limites do triângulo para garantir que não estamos perdendo nenhum extremo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do triângulo. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Agora, para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Resolvendo a primeira equação
, temos duas possibilidades:
Passo 4
Vamos analisar cada caso separadamente:
Caso 1:
Substituímos
na segunda equação:
Isso nos dá
ou
. Como estamos dentro do triângulo com
de 0 a 3, consideramos
e
.
Portanto, temos os pontos críticos:
Caso 2:
Substituímos
na segunda equação:
Então, os pontos críticos são:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se esses pontos críticos estão dentro do triângulo. Os pontos
,
,
e
estão todos dentro do triângulo definido pelos vértices
,
e
.
Passo 6
Além dos pontos críticos internos, devemos analisar os extremos nas arestas do triângulo. As arestas são:
- De
a : , com - De
a : , com - De
a : , com
Vamos analisar cada aresta:
Aresta 1:
Substituímos
na função:
Derivamos em relação a
e igualamos a zero para encontrar extremos:
Resolvendo, temos
e
ou
. Dentro do intervalo
, consideramos
e
.
Então, pontos a considerar:
Aresta 2:
Substituímos
na função:
Derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo, temos
e
ou
. Dentro do intervalo
, consideramos
e
.
Então, pontos a considerar:
Aresta 3:
Substituímos
na função:
Isso é uma parábola com concavidade para cima, então o mínimo ocorre em
. Assim, o ponto a considerar é
.
Passo 7
Agora, vamos listar todos os pontos que encontramos e calcular o valor de
em cada um deles:
-
: -
: -
: -
: -
:
Resposta
Os extremos da função
no triângulo dado são:
- Mínimo absoluto:
- Máximo absoluto:
Exercícios relacionados
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição
.
b)
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com
de papelão.
Mostre que a função
possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que
não possui ponto de mínimo absoluto.