Ache os extremos relativos de f com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) f(x, y, z) = x * z + y * z, com as restrições x^2 + z^2 = 2 e y z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função com as restrições e .
Aqui, estamos trabalhando com otimização com restrições, ou seja, queremos maximizar ou minimizar a função dado que certas condições (as restrições) são satisfeitas. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica poderosa para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite encontrar os extremos de uma função sujeita a restrições e .
A ideia é que no ponto extremo, o gradiente de será uma combinação linear dos gradientes das restrições. Ou seja:
onde e são os multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
  • Função objetivo:
  • Primeira restrição:
  • Segunda restrição:
Agora, vamos calcular os gradientes de cada uma:

Passo 4

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos analisar a equação (2):
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Se , precisamos verificar se isso é possível com as restrições. Mas vamos seguir com .

Passo 6

Com , vamos usar a equação (1):
Agora, vamos substituir e na equação (3):
Podemos simplificar cancelando o dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos usar as restrições para encontrar os valores de , e .
Primeira restrição:
Como , substituímos:
Então, (já que ).
Segunda restrição:
Com :
  • Se , então
  • Se , então

Passo 8

Agora temos duas possibilidades de soluções:
  1. , ,
  2. , ,
Vamos verificar os valores de para esses pontos:

Resposta

Os extremos relativos da função sob as restrições dadas são os pontos e , ambos com valor máximo igual a 3.

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