Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a)
, com as restrições
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
com as restrições
e
.
Aqui, estamos trabalhando com otimização com restrições, ou seja, queremos maximizar ou minimizar a função
dado que certas condições (as restrições) são satisfeitas. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica poderosa para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite encontrar os extremos de uma função
sujeita a restrições
e
.
A ideia é que no ponto extremo, o gradiente de
será uma combinação linear dos gradientes das restrições. Ou seja:
onde
e
são os multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar nossas funções:
- Função objetivo:
- Primeira restrição:
- Segunda restrição:
Agora, vamos calcular os gradientes de cada uma:
Passo 4
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos analisar a equação (2):
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Se
, precisamos verificar se isso é possível com as restrições. Mas vamos seguir com
.
Passo 6
Com
, vamos usar a equação (1):
Agora, vamos substituir
e
na equação (3):
Podemos simplificar cancelando o
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos usar as restrições para encontrar os valores de
,
e
.
Primeira restrição:
Como
, substituímos:
Então,
(já que
).
Segunda restrição:
Com
:
- Se
, então - Se
, então
Passo 8
Agora temos duas possibilidades de soluções:
-
, , -
, ,
Vamos verificar os valores de
para esses pontos:
Resposta
Os extremos relativos da função
sob as restrições dadas são os pontos
e
, ambos com valor máximo igual a 3.
Exercícios relacionados
Seja
.
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera
;
a) Mostre que
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
b) e
e
;
b)
Seja
e
.
a) Determine, em função de , o número de pontos críticos de
e classifique-os.
a) Determine, em função de
Considere
. Nos casos
a)
e
b)
(ii) Determine de modo que
seja menor possível.
(ii) Determine