Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função com as restrições e .
Aqui, estamos trabalhando com otimização com restrições, ou seja, queremos maximizar ou minimizar a função dado que certas condições (as restrições) são satisfeitas. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica poderosa para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos permite encontrar os extremos de uma função sujeita a restrições e .
A ideia é que no ponto extremo, o gradiente de será uma combinação linear dos gradientes das restrições. Ou seja:
onde e são os multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar nossas funções:
  • Função objetivo:
  • Primeira restrição:
  • Segunda restrição:
Agora, vamos calcular os gradientes de cada uma:

Passo 4

Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos analisar a equação (2):
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Se , precisamos verificar se isso é possível com as restrições. Mas vamos seguir com .

Passo 6

Com , vamos usar a equação (1):
Agora, vamos substituir e na equação (3):
Podemos simplificar cancelando o dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos usar as restrições para encontrar os valores de , e .
Primeira restrição:
Como , substituímos:
Então, (já que ).
Segunda restrição:
Com :
  • Se , então
  • Se , então

Passo 8

Agora temos duas possibilidades de soluções:
  1. , ,
  2. , ,
Vamos verificar os valores de para esses pontos:

Resposta

Os extremos relativos da função sob as restrições dadas são os pontos e , ambos com valor máximo igual a 3.

Exercícios relacionados

Seja .
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera ;
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
b) e e ;
Seja e .
a) Determine, em função de , o número de pontos críticos de e classifique-os.
Considere . Nos casos a) e b)
(ii) Determine de modo que seja menor possível.