Considere f(alpha, beta)=integral0^1(alpha x+beta-f(x))^2 d x. Nos casos a) f(x)=x^2 e b) f(x)=1x^2+1
(ii) Determine (alpha, beta) de modo que f(alpha, beta) seja menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem com que a função seja a menor possível. A função que estamos trabalhando é . Vamos fazer isso para dois casos diferentes: a) quando e b) quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções através de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos querendo minimizar. A função representa a integral do quadrado da diferença entre uma reta e a função no intervalo de 0 a 1. Basicamente, estamos procurando a melhor aproximação linear para nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar os valores de e que minimizam , vamos derivar em relação a e e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores ótimos.

Passo 4

Vamos começar com o caso a) onde f(alpha, beta) = integral0^1 (alpha x + beta - x^2)^2 dx . Então, nossa função para minimizar fica:
(alpha x + beta - x^2)^2 = alpha^2x^2 + beta^2 + x^4 + 2alphabeta x - 2alpha x^3 - 2beta x^2
Vamos expandir o quadrado para facilitar a derivação:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
f(alpha, beta) = alpha^2 integral0^1 x^2 dx + beta^2 integral0^1 dx + integral0^1 x^4 dx + 2alphabeta integral0^1 x dx - 2alpha integral0^1 x^3 dx - 2beta integral0^1 x^2 dx
Calculando as integrais:
= alpha^2 [x^33]0^1 + beta^2 [x]0^1 + [x^55]0^1 + 2alphabeta [x^22]0^1 - 2alpha [x^44]0^1 - 2beta [x^33]0^1
Substituindo os limites:
= alpha^2 (13) + beta^2 (1) + (15) + 2alphabeta (12) - 2alpha (14) - 2beta (13)
Simplificando:
f(alpha, beta) = alpha^23 + beta^2 + 15 + alphabeta - alpha2 - 2beta3

Passo 6

Para minimizar partial fpartial alpha = 2alpha3 + beta - 12 = 0 , vamos derivar parcialmente em relação a partial fpartial beta = 2beta + alpha - 23 = 0 e e igualar a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
2alpha3 + beta = 12 alpha + 2beta = 23
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para eliminar o denominador:
2alpha + 3beta = 32
Agora, multiplicamos a segunda equação por 3:
3alpha + 6beta = 2
Subtraindo as duas equações:
(3alpha + 6beta) - (2alpha + 3beta) = 2 - 32
alpha + 3beta = 12
Agora, temos:
alpha = 12 - 3beta
Substituímos isso na segunda equação original:
(12 - 3beta) + 2beta = 23
12 - beta = 23
-beta = 23 - 12 = 46 - 36 = 16
beta = -16
Agora, substituímos alpha = 12 - 3(-16) = 12 + 12 = 1 na expressão de :

Passo 8

Então, para o caso a) onde alpha = 1 e beta = -16 , os valores que minimizam são:

Passo 9

Agora, vamos para o caso b) onde f(alpha, beta) = integral0^1 (alpha x + beta - 1x^2+1)^2 dx . O processo é semelhante.
Primeiro, nossa função para minimizar é:
(alpha x + beta - 1x^2+1)^2 = alpha^2x^2 + beta^2 + 1(x^2+1)^2 + 2alphabeta x - 2alpha xx^2+1 - 2beta 1x^2+1
Vamos expandir o quadrado:

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:
f(alpha, beta) = alpha^2 integral0^1 x^2 dx + beta^2 integral0^1 dx + integral0^1 1(x^2+1)^2 dx + 2alphabeta integral0^1 x dx - 2alpha integral0^1 xx^2+1 dx - 2beta integral0^1 1x^2+1 dx
Calculamos as integrais conhecidas:
integral0^1 x^2 dx = 13, integral0^1 dx = 1, integral0^1 x dx = 12, integral0^1 xx^2+1 dx = 12 ln(x^2+1) |0^1 = 12 ln 2
Para integral 1(x^2+1)^2 dx = x2(x^2+1) + 12 tan^-1(x) + C , usamos a substituição:
integral0^1 1(x^2+1)^2 dx = [ x2(x^2+1) + 12 tan^-1(x) ]0^1 = 14 + pi8
Então:
integral0^1 1x^2+1 dx = tan^-1(x) |0^1 = pi4
E:

Passo 11

Substituindo todas as integrais na expressão de f(alpha, beta) = alpha^2 (13) + beta^2 (1) + (14 + pi8) + 2alphabeta (12) - 2alpha (12 ln 2) - 2beta (pi4) :
f(alpha, beta) = alpha^23 + beta^2 + 14 + pi8 + alphabeta - alpha ln 2 - pi2 beta
Simplificando:

Passo 12

Para minimizar, derivamos parcialmente em relação a partial fpartial alpha = 2alpha3 + beta - ln 2 = 0 e partial fpartial beta = 2beta + alpha - pi2 = 0 e igualamos a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 13

Agora, temos o sistema:
2alpha3 + beta = ln 2 alpha + 2beta = pi2
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
2alpha3 + beta = ln 2 implies beta = ln 2 - 2alpha3
Substituímos alpha + 2(ln 2 - 2alpha3) = pi2 na segunda equação:
alpha + 2 ln 2 - 4alpha3 = pi2
Simplificando:
(1 - 43)alpha + 2 ln 2 = pi2
-13alpha + 2 ln 2 = pi2
-13alpha = pi2 - 2 ln 2
alpha = -3(pi2 - 2 ln 2) = -3pi2 + 6 ln 2

Passo 14

Agora, encontramos beta = ln 2 - 23(-3pi2 + 6 ln 2) = ln 2 - 23 (-3pi2) + 23 times 6 ln 2 . Vamos substituir de volta para encontrar = ln 2 + pi + 4 ln 2 = pi + 5 ln 2 :

Resposta

Para tornar alpha = 1 e beta = -16 mínimo:
a) Quando alpha = -3pi2 + 6 ln 2 e beta = pi + 5 ln 2 :
b) Quando :

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