Considere . Nos casos a) e b)
(ii) Determine de modo que seja menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem com que a função seja a menor possível. A função que estamos trabalhando é . Vamos fazer isso para dois casos diferentes: a) quando e b) quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções através de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos querendo minimizar. A função representa a integral do quadrado da diferença entre uma reta e a função no intervalo de 0 a 1. Basicamente, estamos procurando a melhor aproximação linear para nesse intervalo.
Passo 3
Para encontrar os valores de e que minimizam , vamos derivar em relação a e e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores ótimos.
Passo 4
Vamos começar com o caso a) onde . Então, nossa função para minimizar fica:
Vamos expandir o quadrado para facilitar a derivação:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 6
Para minimizar , vamos derivar parcialmente em relação a e e igualar a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para eliminar o denominador:
Agora, multiplicamos a segunda equação por 3:
Subtraindo as duas equações:
Agora, temos:
Substituímos isso na segunda equação original:
Agora, substituímos na expressão de :
Passo 8
Então, para o caso a) onde , os valores que minimizam são:
Passo 9
Agora, vamos para o caso b) onde . O processo é semelhante.
Primeiro, nossa função para minimizar é:
Vamos expandir o quadrado:
Passo 10
Agora, integramos termo a termo:
Calculamos as integrais conhecidas:
Para , usamos a substituição:
Então:
E:
Passo 11
Substituindo todas as integrais na expressão de :
Simplificando:
Passo 12
Para minimizar, derivamos parcialmente em relação a e e igualamos a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 13
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Passo 14
Agora, encontramos . Vamos substituir de volta para encontrar :