Considere . Nos casos a) e b)
(ii) Determine de modo que seja menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem com que a função seja a menor possível. A função que estamos trabalhando é . Vamos fazer isso para dois casos diferentes: a) quando e b) quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções através de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos querendo minimizar. A função representa a integral do quadrado da diferença entre uma reta e a função no intervalo de 0 a 1. Basicamente, estamos procurando a melhor aproximação linear para nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar os valores de e que minimizam , vamos derivar em relação a e e igualar as derivadas a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores ótimos.

Passo 4

Vamos começar com o caso a) onde . Então, nossa função para minimizar fica:
Vamos expandir o quadrado para facilitar a derivação:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 6

Para minimizar , vamos derivar parcialmente em relação a e e igualar a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 para eliminar o denominador:
Agora, multiplicamos a segunda equação por 3:
Subtraindo as duas equações:
Agora, temos:
Substituímos isso na segunda equação original:
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 8

Então, para o caso a) onde , os valores que minimizam são:

Passo 9

Agora, vamos para o caso b) onde . O processo é semelhante.
Primeiro, nossa função para minimizar é:
Vamos expandir o quadrado:

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:
Calculamos as integrais conhecidas:
Para , usamos a substituição:
Então:
E:

Passo 11

Substituindo todas as integrais na expressão de :
Simplificando:

Passo 12

Para minimizar, derivamos parcialmente em relação a e e igualamos a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 13

Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:

Passo 14

Agora, encontramos . Vamos substituir de volta para encontrar :

Resposta

Para tornar mínimo:
a) Quando :
b) Quando :

Exercícios relacionados

Seja e .
a) Determine, em função de , o número de pontos críticos de e classifique-os.
Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições e .
Derive.
Derive.