Seja e .
a) Determine, em função de , o número de pontos críticos de e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde é um número real diferente de zero. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos pontos críticos essa função tem, dependendo do valor de , e classificar esses pontos (tipo máximo, mínimo, ponto de sela, etc.). Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar as derivadas parciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
  1. :
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. :
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo na equação de :
Isso nos dá ou .
Portanto, neste caso, temos os pontos críticos:
Caso 2:
Substituindo na equação de :
Daqui, temos:
Então, os pontos críticos neste caso são:

Passo 4

Agora que encontramos os possíveis pontos críticos, vamos classificar cada um deles. Para isso, usamos a segunda derivada ou o teste da segunda derivada, que envolve o cálculo do determinante da matriz Hessiana.
A matriz Hessiana de é dada por:
Vamos calcular as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é:
Vamos classificar cada ponto:
Para os pontos :
Como se e se , o ponto é:
  • Máximo local se e (isto é, )
  • Ponto de sela se (isto é, )
Para os pontos e :
Como se e se , os pontos e são:
  • Mínimos locais se e (isto é, )
  • Pontos de sela se (isto é, )
Para os pontos e :
Aqui, sempre que , então esses pontos são sempre:
  • Pontos de sela independentemente do valor de

Resposta

Dependendo de :
  • Para :
    • Três pontos críticos:
      • : Máximo local
      • e : Mínimos locais
      • e : Pontos de sela
  • Para :
    • Três pontos críticos:
      • : Ponto de sela
      • e : Pontos de sela
      • e : Pontos de sela
Ou seja, o número e a natureza dos pontos críticos variam conforme o sinal de .

Exercícios relacionados

Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições e .
Seja .
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera ;
Considere . Nos casos a) e b)
(ii) Determine de modo que seja menor possível.
Derive.