Seja
e
.
a) Determine, em função de
, o número de pontos críticos de
e classifique-os.
a) Determine, em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
é um número real diferente de zero. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos pontos críticos essa função tem, dependendo do valor de
, e classificar esses pontos (tipo máximo, mínimo, ponto de sela, etc.). Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar as derivadas parciais e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
-
:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo
na equação de
:
Isso nos dá
ou
.
Portanto, neste caso, temos os pontos críticos:
Caso 2:
Substituindo
na equação de
:
Daqui, temos:
Então, os pontos críticos neste caso são:
Passo 4
Agora que encontramos os possíveis pontos críticos, vamos classificar cada um deles. Para isso, usamos a segunda derivada ou o teste da segunda derivada, que envolve o cálculo do determinante da matriz Hessiana.
A matriz Hessiana
de
é dada por:
Vamos calcular as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é:
Vamos classificar cada ponto:
Para os pontos
:
Como
se
e
se
, o ponto
é:
- Máximo local se
e (isto é, ) - Ponto de sela se
(isto é, )
Para os pontos
e
:
Como
se
e
se
, os pontos
e
são:
- Mínimos locais se
e (isto é, ) - Pontos de sela se
(isto é, )
Para os pontos
e
:
Aqui,
sempre que
, então esses pontos são sempre:
- Pontos de sela independentemente do valor de
Resposta
Dependendo de
:
-
Para
: - Três pontos críticos:
-
: Máximo local -
e : Mínimos locais -
e : Pontos de sela
-
- Três pontos críticos:
-
Para
: - Três pontos críticos:
-
: Ponto de sela -
e : Pontos de sela -
e : Pontos de sela
-
- Três pontos críticos:
Ou seja, o número e a natureza dos pontos críticos variam conforme o sinal de
.
Exercícios relacionados
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições
e
.
a)
Seja
.
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera
;
a) Mostre que
Considere
. Nos casos
a)
e
b)
(ii) Determine de modo que
seja menor possível.
(ii) Determine
Derive.