Seja
.
a) Mostre que
tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera
;
a) Mostre que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a função
na esfera
. Nosso objetivo é mostrar que
possui exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo local na esfera. Para isso, vamos utilizar conceitos de otimização com restrição, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a função
atinge seus extremos sob a restrição da esfera
. Para isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 3
Definimos a função Lagrangeana:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que precisamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais da Lagrangeana em relação a
,
,
e
e as igualamos a zero:
Passo 5
Resolvendo as equações derivadas:
- Da primeira equação:
⟹ ou - Da segunda equação:
⟹ ou - Da terceira equação:
⟹ ou
Passo 6
Analisamos os casos possíveis:
-
Caso 1:
- Das equações de
e , temos que e podem ser quaisquer valores desde que e (pois não afeta na terceira equação). - Portanto, os pontos onde
e formam um círculo na esfera onde pode ter extremos.
- Das equações de
-
Caso 2:
- Da terceira equação,
pode ser qualquer valor que satisfaça a restrição. - De
, das primeiras duas equações, . - Portanto, os pontos são
e .
- Da terceira equação,
Passo 7
Calculamos os valores de
nos pontos críticos:
- Para
(infinito pontos no círculo ): - Para
(dois pontos ):
Passo 8
Analisando os valores de
:
- Os pontos no círculo
têm , que são máximos locais. - Os pontos
e têm , que são mínimos locais.
Resposta
A função
possui exatamente dois pontos de mínimo local nos pontos
e
e infinitos pontos de máximo local na circunferência definida por
na esfera
.
Exercícios relacionados
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
b) e
e
;
b)
Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições
e
.
a)
Seja
e
.
a) Determine, em função de , o número de pontos críticos de
e classifique-os.
a) Determine, em função de