Seja f(x, y) = x^2 + y^2 - z^2 + 3.
a) Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera S^2 = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1};

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a função na esfera . Nosso objetivo é mostrar que possui exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo local na esfera. Para isso, vamos utilizar conceitos de otimização com restrição, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a função atinge seus extremos sob a restrição da esfera . Para isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 3

Definimos a função Lagrangeana:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que precisamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais da Lagrangeana em relação a , , e e as igualamos a zero:

Passo 5

Resolvendo as equações derivadas:
  1. Da primeira equação: ou
  2. Da segunda equação: ou
  3. Da terceira equação: ou

Passo 6

Analisamos os casos possíveis:
  • Caso 1:
    • Das equações de e , temos que e podem ser quaisquer valores desde que e (pois não afeta na terceira equação).
    • Portanto, os pontos onde e formam um círculo na esfera onde pode ter extremos.
  • Caso 2:
    • Da terceira equação, pode ser qualquer valor que satisfaça a restrição.
    • De , das primeiras duas equações, .
    • Portanto, os pontos são e .

Passo 7

Calculamos os valores de nos pontos críticos:
  • Para (infinito pontos no círculo ):
  • Para (dois pontos ):

Passo 8

Analisando os valores de :
  • Os pontos no círculo têm , que são máximos locais.
  • Os pontos e têm , que são mínimos locais.

Resposta

A função possui exatamente dois pontos de mínimo local nos pontos e e infinitos pontos de máximo local na circunferência definida por na esfera .

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