Ache os extremos de f(x, y) = y^2 - 4xy + 4x^2, sujeito ao vínculo x^2 + y^2 - 1 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos da função com a condição de que . Isso entra no conteúdo de otimização com restrições, e para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos sob a restrição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o método dos multiplicadores de Lagrange ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é combinar a função que queremos otimizar com a restrição através de um multiplicador, geralmente representado por .

Passo 3

Vamos construir a função de Lagrange, que é dada por:
Substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função de Lagrange em relação a , e e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Terceira derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos agora resolver esse sistema de equações.
Da terceira equação, temos:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 6

Igualando as duas expressões para :
Multiplicando cruzado:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, podemos expressar e substituir na equação acima:

Passo 8

Vamos rearranjar a equação para isolar :

Passo 9

Agora, substituímos na equação :

Passo 10

Vamos resolver a equação quadrática em :
Seja , então:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim:
Portanto:

Passo 11

Agora, encontramos os valores de , vamos achar os correspondentes de usando .
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 12

Finalmente, temos os quatro pontos extremos:

Resposta

Os extremos da função sujeitos à restrição são nos pontos:

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