Ache os extremos de
, sujeito ao vínculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos da função
com a condição de que
. Isso entra no conteúdo de otimização com restrições, e para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos sob a restrição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o método dos multiplicadores de Lagrange ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é combinar a função que queremos otimizar com a restrição através de um multiplicador, geralmente representado por
.
Passo 3
Vamos construir a função de Lagrange, que é dada por:
Substituindo
na expressão, temos:
Passo 4
Agora, precisamos derivar a função de Lagrange em relação a
,
e
e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Terceira derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Vamos agora resolver esse sistema de equações.
Da terceira equação, temos:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando cruzado:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição
para expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, podemos expressar
e substituir na equação acima:
Passo 8
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação
:
Passo 10
Vamos resolver a equação quadrática em
:
Seja
, então:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim:
Portanto:
Passo 11
Agora, encontramos os valores de
, vamos achar os correspondentes de
usando
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 12
Finalmente, temos os quatro pontos extremos:
Resposta
Os extremos da função
sujeitos à restrição
são nos pontos:
Exercícios relacionados
Dada a função
Determine: As curvas de nível
.
A distribuição de temperatura na chapa retangular
definida por
é dada por
. Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
, no ponto
.
Determine os pontos da curva
mais afastados e os mais próximos da origem.