Determine os pontos da curva
mais afastados e os mais próximos da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos da curva definida por
que estão mais próximos e mais afastados da origem. Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica e otimização com restrições. Para resolver, vamos usar o conceito de distância entre dois pontos e aplicar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto
até a origem
. A fórmula da distância é:
Mas como queremos simplificar os cálculos, vamos trabalhar com
, já que o mínimo ou máximo de
será o mesmo para
.
Passo 3
Agora, queremos maximizar e minimizar
sujeito à restrição da curva
. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador
e igualamos as derivadas parciais:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos analisar as equações
e
. Podemos reescrever cada uma delas isolando
:
Como
é o mesmo nas duas equações, podemos igualar as expressões:
Isso implica que
.
Passo 5
Considerando que
ou
, vamos substituir na equação da curva
:
Se
:
Então, os pontos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se existem pontos onde
ou
é zero. Se
:
Então, temos os pontos
e
.
De forma similar, se
:
Então, os pontos
e
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a distância
para cada conjunto de pontos:
- Para
:
- Para
e :
Como
, os pontos
e seus equivalentes são os mais afastados, e os pontos
,
,
,
são os mais próximos da origem.
Resposta
Os pontos mais afastados da origem são
e os mais próximos da origem são
e
.