Determine os pontos da curva x^6 + y^6 = 1 mais afastados e os mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos da curva definida por que estão mais próximos e mais afastados da origem. Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica e otimização com restrições. Para resolver, vamos usar o conceito de distância entre dois pontos e aplicar a técnica dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto até a origem . A fórmula da distância é:
Mas como queremos simplificar os cálculos, vamos trabalhar com , já que o mínimo ou máximo de será o mesmo para .

Passo 3

Agora, queremos maximizar e minimizar sujeito à restrição da curva . Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador e igualamos as derivadas parciais:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos analisar as equações e . Podemos reescrever cada uma delas isolando :
Como é o mesmo nas duas equações, podemos igualar as expressões:
Isso implica que .

Passo 5

Considerando que ou , vamos substituir na equação da curva :
Se :
Então, os pontos são e .

Passo 6

Agora, vamos verificar se existem pontos onde ou é zero. Se :
Então, temos os pontos e .
De forma similar, se :
Então, os pontos e .

Passo 7

Agora, vamos calcular a distância para cada conjunto de pontos:
  • Para :
  • Para e :
Como , os pontos e seus equivalentes são os mais afastados, e os pontos , , , são os mais próximos da origem.

Resposta

Os pontos mais afastados da origem são e os mais próximos da origem são e .

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