Dada a função f(x, y) = raiz(16 - x^2 - 16 y^2) Determine: As curvas de nível f(x, y) = C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas de nível da função . A matéria envolvida aqui é o estudo de funções de duas variáveis e as respectivas curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como manipulá-las matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, é a solução da equação .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Nosso objetivo é encontrar a expressão que relaciona e para diferentes valores de .

Passo 4

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com e :

Passo 6

Essa equação é a de uma elipse padrão, onde os coeficientes de e determinam as dimensões da elipse.
Podemos reescrever a equação da seguinte maneira para deixar isso mais claro:

Passo 7

Concluímos que, para cada valor constante tal que , a curva de nível é uma elipse com os eixos determinados pelos coeficientes acima.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses definidas pela equação , onde é uma constante tal que .

Exercícios relacionados