Dada a função
Determine: As curvas de nível
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas de nível da função
. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções de duas variáveis e as respectivas curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como manipulá-las matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja, é a solução da equação
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Nosso objetivo é encontrar a expressão que relaciona
e
para diferentes valores de
.
Passo 4
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar os termos com
e
:
Passo 6
Essa equação é a de uma elipse padrão, onde os coeficientes de
e
determinam as dimensões da elipse.
Podemos reescrever a equação da seguinte maneira para deixar isso mais claro:
Passo 7
Concluímos que, para cada valor constante
tal que
, a curva de nível
é uma elipse com os eixos determinados pelos coeficientes acima.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses definidas pela equação
, onde
é uma constante tal que
.
Exercícios relacionados
A distribuição de temperatura na chapa retangular
definida por
é dada por
. Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.
Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Ache os extremos de
, sujeito ao vínculo
.
Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
, no ponto
.