A distribuição de temperatura na chapa retangular definida por
é dada por . Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde queremos descobrir qual é a temperatura máxima e mínima em uma chapa retangular definida por . A temperatura em cada ponto dessa chapa é dada por . Nosso objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função dentro dessa região e identificar em quais pontos eles ocorrem.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, encontrar extremos locais (máximos e mínimos) de uma função de duas variáveis. Vamos precisar calcular derivadas parciais para encontrar pontos críticos e também avaliar a função nas fronteiras da região para garantir que a gente não perca nenhum extremo.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar pelos pontos críticos dentro da região . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas derivadas:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Então, o único ponto crítico dentro da região é .

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da nossa região :
Sim, está dentro de . Agora, vamos calcular a temperatura nesse ponto:

Passo 5

Além dos pontos internos, precisamos verificar as fronteiras da região para garantir que não haja temperaturas maiores ou menores lá. As fronteiras são definidas pelas linhas:
Vamos avaliar em cada uma dessas fronteiras.
Fronteira :
Isso é uma função quadrática em . Podemos encontrar o mínimo dessa função derivando em relação a :
Como está entre e , substituímos:
Também avaliamos nas extremidades e :
Fronteira :
Encontramos o mínimo derivando:
Mas não está entre e , então avaliamos nas extremidades:
Fronteira :
Derivando em relação a :
Como está entre e , substituímos:
Também avaliamos nas extremidades e :
á
á
Fronteira :
Derivando em relação a :
Mas não está entre e , então avaliamos nas extremidades:
á
á

Resposta

Após analisar todos os pontos críticos e as fronteiras da região , concluímos que:
  • Temperatura Mínima: ocorre no ponto .
  • Temperatura Máxima: ocorre no ponto .

Exercícios relacionados

Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Determine a equação de um plano que seja tangente a superfície e paralelo ao plano .
Dada a função Determine: As curvas de nível .
Ache os extremos de , sujeito ao vínculo .