A distribuição de temperatura na chapa retangular
definida por
é dada por
. Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde queremos descobrir qual é a temperatura máxima e mínima em uma chapa retangular definida por
. A temperatura em cada ponto
dessa chapa é dada por
. Nosso objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função dentro dessa região e identificar em quais pontos eles ocorrem.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, encontrar extremos locais (máximos e mínimos) de uma função de duas variáveis. Vamos precisar calcular derivadas parciais para encontrar pontos críticos e também avaliar a função nas fronteiras da região para garantir que a gente não perca nenhum extremo.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pelos pontos críticos dentro da região
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função
em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas derivadas:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Então, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da nossa região
:
Sim,
está dentro de
. Agora, vamos calcular a temperatura nesse ponto:
Passo 5
Além dos pontos internos, precisamos verificar as fronteiras da região
para garantir que não haja temperaturas maiores ou menores lá. As fronteiras são definidas pelas linhas:
Vamos avaliar
em cada uma dessas fronteiras.
Fronteira
:
Isso é uma função quadrática em
. Podemos encontrar o mínimo dessa função derivando em relação a
:
Como
está entre
e
, substituímos:
Também avaliamos nas extremidades
e
:
Fronteira
:
Encontramos o mínimo derivando:
Mas
não está entre
e
, então avaliamos nas extremidades:
Fronteira
:
Derivando em relação a
:
Como
está entre
e
, substituímos:
Também avaliamos nas extremidades
e
:
Fronteira
:
Derivando em relação a
:
Mas
não está entre
e
, então avaliamos nas extremidades:
Resposta
Após analisar todos os pontos críticos e as fronteiras da região
, concluímos que:
- Temperatura Mínima:
ocorre no ponto . - Temperatura Máxima:
ocorre no ponto .
Exercícios relacionados
Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Determine a equação de um plano que seja tangente a superfície
e paralelo ao plano
.
Dada a função
Determine: As curvas de nível
.
Ache os extremos de
, sujeito ao vínculo
.