Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano e da reta normal no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto
pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Substituímos esses valores na fórmula do plano tangente juntamente com as coordenadas do ponto
:
Vamos simplificar essa equação:
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto
é:
Resposta
A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é: