Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto .
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano e da reta normal no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Substituímos esses valores na fórmula do plano tangente juntamente com as coordenadas do ponto :
Vamos simplificar essa equação:

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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Dada a função Determine: As curvas de nível .
Determine os pontos da curva mais afastados e os mais próximos da origem.