Determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de , no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto .
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano e da reta normal no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 5
Substituímos esses valores na fórmula do plano tangente juntamente com as coordenadas do ponto :
Vamos simplificar essa equação:
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é: