Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que envolve
e
, e a missão é encontrar um fator integrante
para facilitar a resolução dessa equação. Basicamente, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais e aplicar um fator que torna a equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar ela mais clara:
Aqui, temos termos envolvendo
e
multiplicados pelas diferenciais
e
. Nosso objetivo é achar um fator
que, quando multiplicarmos toda a equação por ele, a equação se torne exata, ou seja, possa ser integrada diretamente.
Passo 3
Vamos identificar os termos
e
da equação:
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos verificar isso.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Vemos que
, então a equação não é exata. Por isso, precisamos encontrar o fator integrante
.
Passo 5
Para encontrar
, assumimos que ele depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que
. A fórmula para
é:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculemos o numerador da fração dentro do expoente:
Agora, dividimos isso por
:
Passo 7
Observamos que a expressão resultante não depende apenas de
, então nossa suposição inicial de
está incorreta. Vamos tentar assumir que
.
A fórmula para
é:
Calculando isso:
Ainda não simplifica bem, então vamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 8
Percebemos que encontrar
diretamente pode ser complicado. Outra estratégia é reescrever a equação diferencial para identificar termos que possam ser simplificados ou integrados diretamente. Vamos tentar manipular a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, podemos tentar integrar essa expressão.
Passo 9
Integrando em relação a
:
Vamos integrar cada lado separadamente:
À esquerda:
À direita:
Passo 10
Igualando as integrais dos dois lados:
Rearranjando os termos para obter a solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é: