Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo:
(x/y + 2y^2/x) dy = (1 + y^3/x^2) dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que envolve e , e a missão é encontrar um fator integrante para facilitar a resolução dessa equação. Basicamente, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais e aplicar um fator que torna a equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar ela mais clara:
Aqui, temos termos envolvendo e multiplicados pelas diferenciais e . Nosso objetivo é achar um fator que, quando multiplicarmos toda a equação por ele, a equação se torne exata, ou seja, possa ser integrada diretamente.

Passo 3

Vamos identificar os termos e da equação:
Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos verificar isso.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Vemos que , então a equação não é exata. Por isso, precisamos encontrar o fator integrante .

Passo 5

Para encontrar , assumimos que ele depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que . A fórmula para é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculemos o numerador da fração dentro do expoente:
Agora, dividimos isso por :

Passo 7

Observamos que a expressão resultante não depende apenas de , então nossa suposição inicial de está incorreta. Vamos tentar assumir que .
A fórmula para é:
Calculando isso:
Ainda não simplifica bem, então vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 8

Percebemos que encontrar diretamente pode ser complicado. Outra estratégia é reescrever a equação diferencial para identificar termos que possam ser simplificados ou integrados diretamente. Vamos tentar manipular a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, podemos tentar integrar essa expressão.

Passo 9

Integrando em relação a :
Vamos integrar cada lado separadamente:
À esquerda:
À direita:

Passo 10

Igualando as integrais dos dois lados:
Rearranjando os termos para obter a solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:

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