Considere a equação
onde
. Pedem-se: Para quais valores
o sistema tem auto-valores complexos? Autovalores repetidos. Auto-valores reais distintos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve encontrar os valores de
e
para os quais o sistema dado possui autovalores complexos, autovalores repetidos e autovalores reais distintos. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de autovalores (ou valores próprios) de matrizes. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz, encontrar suas raízes (os autovalores) e analisar o discriminante da equação quadrática resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz, precisamos calcular o polinômio característico. O polinômio característico
de uma matriz
é dado por:
onde
é a matriz identidade e
representa o determinante.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos o determinante:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 5
Os autovalores
são as raízes do polinômio característico. Para encontrar as raízes de uma equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
O discriminante
determina a natureza das raízes:
- Se
: duas raízes reais e distintas. - Se
: duas raízes reais e iguais (repetidas). - Se
: duas raízes complexas conjugadas.
Passo 6
Agora, vamos analisar cada caso:
-
Autovalores Complexos:Portanto, para autovalores complexos,
. -
Autovalores Repetidos:Assim, para autovalores repetidos,
. -
Autovalores Reais Distintos:Logo, para autovalores reais distintos,
.
Resposta
- Autovalores Complexos: Quando
. - Autovalores Repetidos: Quando
. - Autovalores Reais Distintos: Quando
.
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