Considere a equação onde . Pedem-se: Para quais valores o sistema tem auto-valores complexos? Autovalores repetidos. Auto-valores reais distintos.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve encontrar os valores de e para os quais o sistema dado possui autovalores complexos, autovalores repetidos e autovalores reais distintos. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente o estudo de autovalores (ou valores próprios) de matrizes. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz, encontrar suas raízes (os autovalores) e analisar o discriminante da equação quadrática resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Aqui, e .

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz, precisamos calcular o polinômio característico. O polinômio característico de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade e representa o determinante.

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante:
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 5

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Para encontrar as raízes de uma equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
O discriminante determina a natureza das raízes:
  • Se : duas raízes reais e distintas.
  • Se : duas raízes reais e iguais (repetidas).
  • Se : duas raízes complexas conjugadas.

Passo 6

Agora, vamos analisar cada caso:
  1. Autovalores Complexos:
    Portanto, para autovalores complexos, .
  2. Autovalores Repetidos:
    Assim, para autovalores repetidos, .
  3. Autovalores Reais Distintos:
    Logo, para autovalores reais distintos, .

Resposta

  • Autovalores Complexos: Quando .
  • Autovalores Repetidos: Quando .
  • Autovalores Reais Distintos: Quando .

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