Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) linear homogênea da forma , onde é uma matriz dada por:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa E.D.O., ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis soluções do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes, que nos ajudam a encontrar soluções para sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

O primeiro passo para resolver é encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica det( ) = 0, onde é a matriz identidade.
Vamos calcular a equação característica:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá dois autovalores:

Passo 3

Com os autovalores encontrados, o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Substituímos na matriz :
Resolvendo :
Isso simplifica para . Podemos escolher livremente, por exemplo, . Assim, o autovetor correspondente a é:
Para :
Substituímos na matriz :
Resolvendo :
Isso simplifica para . Podemos escolher , então . O autovetor correspondente a é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema . Cada par fornece uma solução particular da forma:
Então, para nossos autovalores e autovetores, temos duas soluções particulares:
  1. Para e :
  1. Para e :

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções particulares encontradas. Ou seja:
Substituindo e :
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes reais.

Exercícios relacionados

Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo:
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Considere a equação onde . Pedem-se: Para quais valores o sistema tem auto-valores complexos? Autovalores repetidos. Auto-valores reais distintos.
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde: