Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) linear homogênea da forma
, onde
é uma matriz dada por:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa E.D.O., ou seja, uma expressão que descreva todas as possíveis soluções do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes, que nos ajudam a encontrar soluções para sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
O primeiro passo para resolver
é encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica det(
) = 0, onde
é a matriz identidade.
Vamos calcular a equação característica:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Isso nos dá dois autovalores:
Passo 3
Com os autovalores encontrados, o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Para
:
Substituímos na matriz
:
Resolvendo
:
Isso simplifica para
. Podemos escolher
livremente, por exemplo,
. Assim, o autovetor correspondente a
é:
Para
:
Substituímos na matriz
:
Resolvendo
:
Isso simplifica para
. Podemos escolher
, então
. O autovetor correspondente a
é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema
. Cada par
fornece uma solução particular da forma:
Então, para nossos autovalores e autovetores, temos duas soluções particulares:
- Para
e :
- Para
e :
Passo 5
A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções particulares encontradas. Ou seja:
Substituindo
e
:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo:
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Considere a equação
onde
. Pedem-se: Para quais valores
o sistema tem auto-valores complexos? Autovalores repetidos. Auto-valores reais distintos.
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde: