Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar se a equação diferencial dada é separável, exata ou linear de primeira ordem. Depois, resolver o problema de valor inicial (PVI) que é
. Para isso, vamos precisar saber como identificar cada tipo de equação e aplicar as técnicas apropriadas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde:
Então, identificamos que a equação é linear de primeira ordem.
Passo 3
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Calculando a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
. Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Observamos que
, então:
Agora, a equação fica:
Que simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Resposta
A solução do PVI é:
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Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo:
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde: