Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
y' / t + 2y / (t^2 - 1) = 1 / (t - 1) - 1 / t, y(2) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar se a equação diferencial dada é separável, exata ou linear de primeira ordem. Depois, resolver o problema de valor inicial (PVI) que é . Para isso, vamos precisar saber como identificar cada tipo de equação e aplicar as técnicas apropriadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde:
Então, identificamos que a equação é linear de primeira ordem.

Passo 3

Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de :
Fazendo a substituição , então . Assim:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Observamos que , então:
Agora, a equação fica:
Que simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por 3:

Resposta

A solução do PVI é:

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