Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente analisar uma equação diferencial e descobrir se ela é separável, exata ou linear de primeira ordem. Depois disso, temos que resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição . Para isso, vamos precisar entender cada tipo de equação e aplicar as técnicas apropriadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual tipo de equação estamos lidando. A equação dada é:
Nosso objetivo é determinar se ela é separável, exata ou linear de primeira ordem.

Passo 3

Vamos lembrar rapidamente o que cada tipo significa:
  • Equação Linear de Primeira Ordem: Pode ser escrita na forma .
  • Equação Separável: Pode ser rearranjada de modo que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo de outro.
  • Equação Exata: Possui a forma onde .
Vamos analisar qual categoria se encaixa melhor.

Passo 4

Olhando para a equação:
Podemos reorganizar para:
Essa forma não se encaixa diretamente na forma linear padrão, nem parece ser separável imediatamente devido à presença do termo . Vamos verificar se é exata.

Passo 5

Considerando a forma exata , temos:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 6

Agora que identificamos que a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Portanto, a função é:

Passo 7

Para encontrar a solução geral, igualamos a uma constante:
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do PVI é dada por:

Exercícios relacionados

Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
bustrglatu( )
(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma onde e são funções que dependem do problema dado e é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma onde é uma constante arbitrária e e são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
8
onde é uma constante arbitrária e é uma primitiva da funçāo .
(F) A EDO é uma EDO separável.
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo: