Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
y+(x+y e^y^2) y^prime=sin (x) cos (x), y(pi)=0
l y+(x+y e^prime) y^prime=sen(x) cos (x) ^prime prime d yd x= y+y e^prime^2 d y=sen(x) cos (x)-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente analisar uma equação diferencial e descobrir se ela é separável, exata ou linear de primeira ordem. Depois disso, temos que resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição . Para isso, vamos precisar entender cada tipo de equação e aplicar as técnicas apropriadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual tipo de equação estamos lidando. A equação dada é:
y + ( x + y e^y^2 ) dydx = sin(x) cos(x)
Nosso objetivo é determinar se ela é separável, exata ou linear de primeira ordem.

Passo 3

Vamos lembrar rapidamente o que cada tipo significa:
  • Equação Linear de Primeira Ordem: Pode ser escrita na forma .
  • Equação Separável: Pode ser rearranjada de modo que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo de outro.
  • Equação Exata: Possui a forma onde .
Vamos analisar qual categoria se encaixa melhor.

Passo 4

Olhando para a equação:
y + ( x + y e^y^2 ) dydx = sin(x) cos(x)
Podemos reorganizar para:
( x + y e^y^2 ) dydx = sin(x) cos(x) - y
Essa forma não se encaixa diretamente na forma linear padrão, nem parece ser separável imediatamente devido à presença do termo . Vamos verificar se é exata.

Passo 5

Considerando a forma exata M(x, y) = y - sin(x) cos(x) , temos:
N(x, y) = x + y e^y^2
partial Mpartial y = 1
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Npartial x = 1
Como , a equação é exata!

Passo 6

Agora que identificamos que a equação é exata, sabemos que existe uma função partial Psipartial x = M(x, y) = y - sin(x) cos(x) tal que:
partial Psipartial y = N(x, y) = x + y e^y^2
Psi(x, y) = integral (y - sin(x) cos(x)) dx = yx + 12 cos^2(x) + h(y)
Vamos integrar partial Psipartial y = x + h'(y) = x + y e^y^2 em relação a h'(y) = y e^y^2 implies h(y) = 12 e^y^2 + C para encontrar Psi(x, y) = yx + 12 cos^2(x) + 12 e^y^2 = C :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Portanto, a função é:

Passo 7

Para encontrar a solução geral, igualamos yx + 12 cos^2(x) + 12 e^y^2 = C a uma constante:
0 cdot pi + 12 cos^2(pi) + 12 e^0^2 = C
Agora, aplicamos a condição inicial 0 + 12 ( -1 )^2 + 12 (1) = C :
12 + 12 = C implies C = 1

Resposta

A solução do PVI é dada por:
yx + 12 cos^2(x) + 12 e^y^2 = 1

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