Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente analisar uma equação diferencial e descobrir se ela é separável, exata ou linear de primeira ordem. Depois disso, temos que resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição
. Para isso, vamos precisar entender cada tipo de equação e aplicar as técnicas apropriadas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual tipo de equação estamos lidando. A equação dada é:
Nosso objetivo é determinar se ela é separável, exata ou linear de primeira ordem.
Passo 3
Vamos lembrar rapidamente o que cada tipo significa:
- Equação Linear de Primeira Ordem: Pode ser escrita na forma
. - Equação Separável: Pode ser rearranjada de modo que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo de outro. - Equação Exata: Possui a forma
onde .
Vamos analisar qual categoria se encaixa melhor.
Passo 4
Olhando para a equação:
Podemos reorganizar para:
Essa forma não se encaixa diretamente na forma linear padrão, nem parece ser separável imediatamente devido à presença do termo
. Vamos verificar se é exata.
Passo 5
Considerando a forma exata
, temos:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 6
Agora que identificamos que a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Portanto, a função
é:
Passo 7
Para encontrar a solução geral, igualamos
a uma constante:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do PVI é dada por:
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Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Indique verdadeiro ou falso. (Justifique as alternativas falsas)
bustrglatu( )
(V) A é uma EDO de pri- meira ordem, não linear e não autônoma. A solução geral de uma EDO separável é sempre dada implicitamente por funçōes da forma
onde
e
são funções que dependem do problema dado e
é uma constante arbitrária.
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma
onde
é uma constante arbitrária e
e
são funções que dependem dos coeficientes da EDO.
(M) Seja a solução para um P.V.I. de uma EDO autônoma. Entāo os pontos onde a derivada
se anulam são chamados de pontos críticos e correspondem a soluçōes constantantes da EDO.
(A) A solução geral da é
8
bustrglatu(
(V) A
(V) Uma EDO linear de primeira ordem sempre tem solução da forma
(M) Seja
(A) A solução geral da
8
4ل
onde
é uma constante arbitrária e
é uma primitiva da funçāo
.
(F) A EDO é uma EDO separável.
(F) A EDO
Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável, exata ou linear de primeira ordem (Dica: uma de cada), e resolva o PVI.
Ache um fator integrante c encontre a solução geral da equação abaixo: