Ache a forma canõnica de Jordan das seguintes matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a forma canônica de Jordan da seguinte matriz:
Aqui, a matéria que vamos usar é a Álgebra Linear, especificamente os conceitos de autovalores, autovetores e a forma canônica de Jordan. Vamos precisar calcular os autovalores da matriz, verificar a multiplicidade algébrica e geométrica de cada, e então montar a forma canônica de Jordan com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz original, representa os autovalores, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Calculando :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar a equação característica.
Passo 4
Calcular o determinante de uma matriz 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha para simplificar:
Vamos simplificar esses determinantes menores.
Passo 5
Após calcular os determinantes menores e simplificar, chegamos à equação característica:
Isso significa que os autovalores são e , cada um com multiplicidade algébrica 2.
Passo 6
Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada .
Para :
Resolvemos e encontramos que a multiplicidade geométrica é 1.
Para :
Resolvemos e também encontramos que a multiplicidade geométrica é 1.
Passo 7
Como tanto para quanto para a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, isso indica que teremos blocos de Jordan maiores que 1 na forma canônica.
Passo 8
Portanto, a forma canônica de Jordan para a matriz dada será: