Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram :
d)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, no . A pergunta é: será que esses dois vetores conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como vetores podem gerar um espaço e verificar se esses vetores específicos fazem isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa um conjunto de vetores gerar um espaço como o . Basicamente, queremos saber se, combinando esses vetores (usando multiplicação por escalares e soma), conseguimos chegar a qualquer ponto no espaço tridimensional. Se sim, dizemos que eles geram o .
Passo 3
Agora, vamos olhar para os vetores que nos foram dados: e . Temos apenas dois vetores aqui, e estamos tentando gerar um espaço que tem três dimensões. Geralmente, para gerar um espaço de dimensão , precisamos de pelo menos vetores que sejam linearmente independentes.
Passo 4
Vamos entender o que é ser linearmente independente. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Isso significa que eles apontam em direções diferentes no espaço.
Passo 5
Os vetores e são realmente linearmente independentes? Vamos verificar. Se conseguirmos encontrar um número tal que , então eles seriam dependentes. Mas, olhando para as coordenadas:
Mas então, e
Isso mostra que não existe tal , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Apesar de serem linearmente independentes, temos apenas dois vetores no . Como mencionado antes, precisamos de pelo menos três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço tridimensional. Com dois vetores, só conseguimos gerar um plano dentro do , não todo o espaço.