Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram
:
d)
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Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, no
. A pergunta é: será que esses dois vetores conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como vetores podem gerar um espaço e verificar se esses vetores específicos fazem isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa um conjunto de vetores gerar um espaço como o
. Basicamente, queremos saber se, combinando esses vetores (usando multiplicação por escalares e soma), conseguimos chegar a qualquer ponto no espaço tridimensional. Se sim, dizemos que eles geram o
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os vetores que nos foram dados:
e
. Temos apenas dois vetores aqui, e estamos tentando gerar um espaço que tem três dimensões. Geralmente, para gerar um espaço de dimensão
, precisamos de pelo menos
vetores que sejam linearmente independentes.
Passo 4
Vamos entender o que é ser linearmente independente. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Isso significa que eles apontam em direções diferentes no espaço.
Passo 5
Os vetores
e
são realmente linearmente independentes? Vamos verificar. Se conseguirmos encontrar um número
tal que
, então eles seriam dependentes. Mas, olhando para as coordenadas:
-
- Mas então,
e
Isso mostra que não existe tal
, então os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Apesar de serem linearmente independentes, temos apenas dois vetores no
. Como mencionado antes, precisamos de pelo menos três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço tridimensional. Com dois vetores, só conseguimos gerar um plano dentro do
, não todo o espaço.
Resposta
Portanto, os vetores
não geram o
.