Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram R^3 :
d) (1,1,3),(0,2,1)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, no R^3. A pergunta é: será que esses dois vetores conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como vetores podem gerar um espaço e verificar se esses vetores específicos fazem isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa um conjunto de vetores gerar um espaço como o R^3. Basicamente, queremos saber se, combinando esses vetores (usando multiplicação por escalares e soma), conseguimos chegar a qualquer ponto no espaço tridimensional. Se sim, dizemos que eles geram o R^3.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os vetores que nos foram dados: (1,1,3) e (0,2,1). Temos apenas dois vetores aqui, e estamos tentando gerar um espaço que tem três dimensões. Geralmente, para gerar um espaço de dimensão n, precisamos de pelo menos n vetores que sejam linearmente independentes.

Passo 4

Vamos entender o que é ser linearmente independente. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Isso significa que eles apontam em direções diferentes no espaço.

Passo 5

Os vetores (1,1,3) e (0,2,1) são realmente linearmente independentes? Vamos verificar. Se conseguirmos encontrar um número k tal que (0,2,1) = k cdot (1,1,3), então eles seriam dependentes. Mas, olhando para as coordenadas:
  • 0 = k cdot 1 Rightarrow k = 0
  • Mas então, 2 neq 0 cdot 1 e 1 neq 0 cdot 3
Isso mostra que não existe tal k, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Apesar de serem linearmente independentes, temos apenas dois vetores no R^3. Como mencionado antes, precisamos de pelo menos três vetores linearmente independentes para gerar todo o espaço tridimensional. Com dois vetores, só conseguimos gerar um plano dentro do R^3, não todo o espaço.

Resposta

Portanto, os vetores (1,1,3),(0,2,1) não geram o R^3.

Exercícios relacionados