Considere os vetores em . Mostre que eles formam uma base de .
Passo 1
Fala! A gente tem quatro vetores em e precisa mostrar que eles formam uma base desse espaço. Isso significa que esses vetores devem ser independentes e gerar todo o . Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante para verificar a independência deles.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores como colunas de uma matriz. Assim, temos:
Aqui, cada coluna representa um dos vetores dados no problema.
Passo 3
Agora, para verificar se esses vetores são independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = -888
Passo 4
Como o determinante de A é -888, que é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente quatro vetores em R^4, eles também geram todo o espaço. Portanto, esses vetores satisfazem os requisitos para formar uma base de R^4.