Considere os vetores (1,2,-1,3),(2,1,10,3),(3,-1,-1,0),(4,8,1,1) em R^4. Mostre que eles formam uma base de R^4.

Passo 1

Fala! A gente tem quatro vetores em R^4 e precisa mostrar que eles formam uma base desse espaço. Isso significa que esses vetores devem ser independentes e gerar todo o R^4. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante para verificar a independência deles.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores como colunas de uma matriz. Assim, temos:
A = 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & -1 & 8 -1 & 10 & -1 & 1 3 & 3 & 0 & 1
Aqui, cada coluna representa um dos vetores dados no problema.

Passo 3

Agora, para verificar se esses vetores são independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.
Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = -888

Passo 4

Como o determinante de A é -888, que é diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes. Além disso, como temos exatamente quatro vetores em R^4, eles também geram todo o espaço. Portanto, esses vetores satisfazem os requisitos para formar uma base de R^4.

Resposta

Os vetores formam uma base de R^4.

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