Considere os vetores (10,10,3),(3,-1,-1),(4,8,1),(1,2,1),(7,7,0). Encontre uma base entre esses vetores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco vetores em três dimensões: (10,10,3), (3,-1,-1), (4,8,1), (1,2,1) e (7,7,0). Nosso objetivo aqui é encontrar uma base entre esses vetores. Isso significa que precisamos selecionar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço que esses vetores estão ocupando.
Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como independência linear e espaço vetorial. Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e fazer operações para ver quais vetores realmente trazem informação nova, ou seja, que não são combinações lineares dos anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar esses vetores como colunas de uma matriz. Ficaria assim:
10 & 3 & 4 & 1 & 7 10 & -1 & 8 & 2 & 7 3 & -1 & 1 & 1 & 0
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma onde possamos identificar quais colunas são independentes. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar a matriz encontrando os pivôs (os números que ficam na diagonal principal após as operações).

Passo 3

Vamos começar a eliminação. Primeiro, olhamos para o primeiro elemento da primeira coluna, que é 10. Esse será nosso primeiro pivô. Agora, queremos zerar todos os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna.
Para a segunda linha:
Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
10 & 3 & 4 & 1 & 7 0 & -4 & 4 & 1 & 0 3 & -1 & 1 & 1 & 0
Para a terceira linha:
Subtraímos 0.3 vezes a primeira linha da terceira linha (já que 3/10 = 0.3):
Linha 3 = Linha 3 - 0.3 times Linha 1
10 & 3 & 4 & 1 & 7 0 & -4 & 4 & 1 & 0 0 & -1.9 & -0.2 & 0.7 & -2.1

Passo 4

Agora, olhamos para a segunda coluna da segunda linha, que tem -4. Esse é nosso segundo pivô. Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna.
Para a terceira linha:
Queremos zerar o -1.9. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por (1.9/4) e somar à terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 + (1.94) times Linha 2
10 & 3 & 4 & 1 & 7 0 & -4 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 1.6 & 0.975 & -2.1

Passo 5

Agora que temos os pivôs definidos (10, -4 e 1.6), podemos ver quais colunas correspondem a esses pivôs. As colunas 1, 2 e 3 têm pivôs, então os vetores correspondentes a essas colunas são:
  • Primeiro vetor: (10,10,3)
  • Segundo vetor: (3,-1,-1)
  • Terceiro vetor: (4,8,1)

Resposta

A base formada pelos vetores dados é , (10,10,3),; (3,-1,-1),; (4,8,1) ,.

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