Considere os vetores . Encontre uma base entre esses vetores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem cinco vetores em três dimensões: , , , e . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base entre esses vetores. Isso significa que precisamos selecionar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço que esses vetores estão ocupando.
Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como independência linear e espaço vetorial. Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e fazer operações para ver quais vetores realmente trazem informação nova, ou seja, que não são combinações lineares dos anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar esses vetores como colunas de uma matriz. Ficaria assim:
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz para uma forma onde possamos identificar quais colunas são independentes. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar a matriz encontrando os pivôs (os números que ficam na diagonal principal após as operações).
Passo 3
Vamos começar a eliminação. Primeiro, olhamos para o primeiro elemento da primeira coluna, que é 10. Esse será nosso primeiro pivô. Agora, queremos zerar todos os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna.
Para a segunda linha:
Subtraímos a primeira linha da segunda linha: Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
Agora, olhamos para a segunda coluna da segunda linha, que tem -4. Esse é nosso segundo pivô. Vamos zerar os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna.
Para a terceira linha:
Queremos zerar o -1.9. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por (1.9/4) e somar à terceira linha.
Agora que temos os pivôs definidos (10, -4 e 1.6), podemos ver quais colunas correspondem a esses pivôs. As colunas 1, 2 e 3 têm pivôs, então os vetores correspondentes a essas colunas são:
Primeiro vetor: (10,10,3)
Segundo vetor: (3,-1,-1)
Terceiro vetor: (4,8,1)
Resposta
A base formada pelos vetores dados é , (10,10,3),; (3,-1,-1),; (4,8,1) ,.