Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram :
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores gera o espaço . Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores de diferentes maneiras, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinções lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas. Assim:
Passo 3
Agora, para verificar se esses vetores geram R^3, precisamos checar se a matriz A tem posto 3, ou seja, se ela é invertível. Uma maneira rápida de fazer isso é calcular o determinante da matriz.
Como o determinante de A é diferente de zero (det(A) = 1 neq 0), isso significa que a matriz é invertível e, portanto, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Sim, o conjunto de vetores (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1) gera R^3.