Verifique se os conjuntos de vetores abaixo geram R^3 :
a) (1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1) gera o espaço R^3. Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores de diferentes maneiras, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinções lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas. Assim:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

Agora, para verificar se esses vetores geram R^3, precisamos checar se a matriz A tem posto 3, ou seja, se ela é invertível. Uma maneira rápida de fazer isso é calcular o determinante da matriz.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 1 & 0 1 & 1 - 0 cdot 0 & 0 0 & 1 + 1 cdot 0 & 1 0 & 1
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 + 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 + 0 + 1 cdot 0 = 1

Passo 5

Como o determinante de A é diferente de zero ( det(A) = 1 neq 0), isso significa que a matriz é invertível e, portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto de vetores (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1) gera R^3.

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