) Ache a fórmula fechada da soma
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma que envolve frações do tipo
. O que a questão pede é encontrar uma fórmula fechada para a soma:
Isso está dentro da matéria de Sequências e Séries, mais especificamente sobre somas de telescópicas. Vamos precisar entender como simplificar cada termo para facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada fração
. Para isso, a gente usa a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples:
Vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores para
que facilitem encontrar
e
. Se
, temos:
E se
, temos:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora que simplificamos cada termo, vamos reescrever a soma:
Observamos que a maioria dos termos se cancela, deixando apenas:
Resposta
A fórmula fechada da soma é: