) Ache a fórmula fechada da soma
11.2+12.3+13.4+cdots+1n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma que envolve frações do tipo 1n(n+1). O que a questão pede é encontrar uma fórmula fechada para a soma:
11 cdot 2 + 12 cdot 3 + 13 cdot 4 + cdots + 1n(n+1)
Isso está dentro da matéria de Sequências e Séries, mais especificamente sobre somas de telescópicas. Vamos precisar entender como simplificar cada termo para facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada fração 1n(n+1). Para isso, a gente usa a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples:
1n(n+1) = An + Bn+1
Vamos encontrar os valores de A e B.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por n(n+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(n+1) + Bn
Agora, vamos escolher valores para n que facilitem encontrar A e B. Se n = -1, temos:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1
E se n = 0, temos:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1
Então, a decomposição fica:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 4

Agora que simplificamos cada termo, vamos reescrever a soma:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots + ( 1n - 1n+1 )
Observamos que a maioria dos termos se cancela, deixando apenas:
1 - 1n+1

Resposta

A fórmula fechada da soma é:
1 - 1n+1

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