) Ache a fórmula fechada da soma

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma que envolve frações do tipo . O que a questão pede é encontrar uma fórmula fechada para a soma:
Isso está dentro da matéria de Sequências e Séries, mais especificamente sobre somas de telescópicas. Vamos precisar entender como simplificar cada termo para facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada fração . Para isso, a gente usa a decomposição em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples:
Vamos encontrar os valores de e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores para que facilitem encontrar e . Se , temos:
E se , temos:
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Agora que simplificamos cada termo, vamos reescrever a soma:
Observamos que a maioria dos termos se cancela, deixando apenas:

Resposta

A fórmula fechada da soma é:

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Considere o espaço vetorial . Determinar de maneira que , onde . (Em relação ao Produto Interno usual)
Escreva explicitamente as seguintes matrizes:
(a) tal que
Seja A uma matriz quadrada de ordem .
(a) Mostre que é simétrica.
(b) Mostre que é antissimétrica.
© Demonstre que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica , ou seja, .
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica:
Sejam e matrizes do espaço vetorial . Considere o produto interno , onde denota a matriz transposta de . Sendo e . Calcule , e .