Sejam A e B matrizes do espaço vetorial M(2,2). Considere o produto interno =tr(B^T A), onde B^T denota a matriz transposta de B. Sendo A=(ll1 & 1 0 & 1) e B=(ll1 & 0 0 & 1). Calcule , |A| e |B|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas matrizes, e , no espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é calcular o produto interno , que é definido como a tr (traço) da matriz . Além disso, vamos calcular as normas de e , que basicamente medem o “tamanho” dessas matrizes. Para isso, vamos precisar saber como calcular a transposta de uma matriz, o traço de uma matriz e a norma baseada no produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a transposta de uma matriz B = 1 & 0 0 & 1 , denotada por B^T = 1 & 0 0 & 1 , é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, vamos calcular .
Dada:
A transposta de é:
Nesse caso, é uma matriz simétrica, então .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar A = 1 & 1 0 & 1 , B^T = 1 & 0 0 & 1 por B^T A = 1 & 0 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = (1)(1) + (0)(0) & (1)(1) + (0)(1) (0)(1) + (1)(0) & (0)(1) + (1)(1) = 1 & 1 0 & 1 . A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Dado:
Multiplicando :
Então, .

Passo 4

Com B^T A = 1 & 1 0 & 1 calculado, agora vamos encontrar o traço dessa matriz. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).
Então, para:
tr(B^T A) = 1 + 1 = 2
O traço é:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de uma matriz. A norma |A| = raizlang<= A, A rang<= é definida como a raiz quadrada do produto interno de consigo mesma, ou seja:
Primeiro, vamos calcular .

Passo 6

Vamos seguir os mesmos passos anteriores para A = 1 & 1 0 & 1 . Primeiro, calculamos A^T = 1 & 0 1 & 1 .
Dado:
A^T A = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = (1)(1)+(0)(0) & (1)(1)+(0)(1) (1)(1)+(1)(0) & (1)(1)+(1)(1) = 1 & 1 1 & 2
A transposta de é:
Multiplicando :
Então, .

Passo 7

Agora que temos |A| = raiz3 approx 1,732 , podemos calcular a norma de :

Passo 8

Vamos fazer o mesmo para B = 1 & 0 0 & 1 . Primeiro, calculamos B^T = 1 & 0 0 & 1 .
Dado:
B^T B = 1 & 0 0 & 1 1 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1
A transposta de tr(B^T B) = 1 + 1 = 2 é igual a (já que é simétrica):
Multiplicando :
O traço é:
Então, .

Passo 9

Com |B| = raiz2 approx 1,414 , a norma de é:

Resposta

lang<= A, B rang<= = 2, |A| = raiz3 approx 1,732, |B| = raiz2 approx 1,414

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