Sejam e matrizes do espaço vetorial . Considere o produto interno , onde denota a matriz transposta de . Sendo e . Calcule , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas matrizes, e , no espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é calcular o produto interno , que é definido como a tr (traço) da matriz . Além disso, vamos calcular as normas de e , que basicamente medem o “tamanho” dessas matrizes. Para isso, vamos precisar saber como calcular a transposta de uma matriz, o traço de uma matriz e a norma baseada no produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, vamos calcular .
Dada:
A transposta de é:
Nesse caso, é uma matriz simétrica, então .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Dado:
Multiplicando :
Então, .

Passo 4

Com calculado, agora vamos encontrar o traço dessa matriz. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).
Então, para:
O traço é:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de uma matriz. A norma é definida como a raiz quadrada do produto interno de consigo mesma, ou seja:
Primeiro, vamos calcular .

Passo 6

Vamos seguir os mesmos passos anteriores para . Primeiro, calculamos .
Dado:
A transposta de é:
Multiplicando :
Então, .

Passo 7

Agora que temos , podemos calcular a norma de :

Passo 8

Vamos fazer o mesmo para . Primeiro, calculamos .
Dado:
A transposta de é igual a (já que é simétrica):
Multiplicando :
O traço é:
Então, .

Passo 9

Com , a norma de é:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja A uma matriz quadrada de ordem .
(a) Mostre que é simétrica.
(b) Mostre que é antissimétrica.
© Demonstre que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica , ou seja, .
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica:
) Ache a fórmula fechada da soma
Usando algoritmo de Euclides, justifique que todo número inteiro pode ser representado da forma se for par e se for ímpar.
Sendo , então podemos afirmar que:
(a) é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b) é uma matriz diagonal;
©
(d) ;
(e) A matriz inversa de é .
Justifique todos os itens acima.