Sejam
e
matrizes do espaço vetorial
. Considere o produto interno
, onde
denota a matriz transposta de
. Sendo
e
. Calcule
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas matrizes,
e
, no espaço vetorial
. O que a gente precisa fazer é calcular o produto interno
, que é definido como a tr (traço) da matriz
. Além disso, vamos calcular as normas de
e
, que basicamente medem o “tamanho” dessas matrizes. Para isso, vamos precisar saber como calcular a transposta de uma matriz, o traço de uma matriz e a norma baseada no produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, vamos calcular
.
Dada:
A transposta de
é:
Nesse caso,
é uma matriz simétrica, então
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
. A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Dado:
Multiplicando
:
Então,
.
Passo 4
Com
calculado, agora vamos encontrar o traço dessa matriz. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).
Então, para:
O traço é:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de uma matriz. A norma
é definida como a raiz quadrada do produto interno de
consigo mesma, ou seja:
Primeiro, vamos calcular
.
Passo 6
Vamos seguir os mesmos passos anteriores para
. Primeiro, calculamos
.
Dado:
A transposta de
é:
Multiplicando
:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos
, podemos calcular a norma de
:
Passo 8
Vamos fazer o mesmo para
. Primeiro, calculamos
.
Dado:
A transposta de
é igual a
(já que é simétrica):
Multiplicando
:
O traço é:
Então,
.
Passo 9
Com
, a norma de
é: