Sejam e matrizes do espaço vetorial . Considere o produto interno , onde denota a matriz transposta de . Sendo e . Calcule , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas matrizes, e , no espaço vetorial . O que a gente precisa fazer é calcular o produto interno , que é definido como a tr (traço) da matriz . Além disso, vamos calcular as normas de e , que basicamente medem o “tamanho” dessas matrizes. Para isso, vamos precisar saber como calcular a transposta de uma matriz, o traço de uma matriz e a norma baseada no produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, vamos calcular .
Dada:
A transposta de é:
Nesse caso, é uma matriz simétrica, então .
Passo 3
Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes segue a regra de multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Dado:
Multiplicando :
Então, .
Passo 4
Com calculado, agora vamos encontrar o traço dessa matriz. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita).
Então, para:
O traço é:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de uma matriz. A norma é definida como a raiz quadrada do produto interno de consigo mesma, ou seja:
Primeiro, vamos calcular .
Passo 6
Vamos seguir os mesmos passos anteriores para . Primeiro, calculamos .