Considere o espaço vetorial
. Determinar
de maneira que
, onde
. (Em relação ao Produto Interno usual)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o valor de
em
de modo que a norma (ou tamanho) do vetor
seja igual a
. Para isso, vamos usar o conceito de Produto Interno e Norma de um Vetor no espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a norma de um vetor no espaço
usando o produto interno usual. A norma de
é dada por:
Isso significa que a norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao nosso vetor
, temos:
Queremos que essa norma seja igual a
, então vamos igualar as duas expressões.
Passo 4
Igualando as normas:
Para resolver essa equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando de considerar tanto a solução positiva quanto a negativa:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.
Exercícios relacionados
Escreva explicitamente as seguintes matrizes:
(a) tal que
(a)
Demonstre cada um dos casos abaixo, usando indução finita
a)
b)
c)
a)
b)
c)
) Ache a fórmula fechada da soma
Seja A uma matriz quadrada de ordem
.
(a) Mostre que é simétrica.
(b) Mostre que é antissimétrica.
© Demonstre que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica
e de uma matriz antissimétrica
, ou seja,
.
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica:
(a) Mostre que
(b) Mostre que
© Demonstre que
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica: