Considere o espaço vetorial R^3. Determinar a in R^3 de maneira que |u|=raiz41, onde u=(6, a,-1). (Em relação ao Produto Interno usual)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o valor de em de modo que a norma (ou tamanho) do vetor seja igual a . Para isso, vamos usar o conceito de Produto Interno e Norma de um Vetor no espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a norma de um vetor no espaço |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 usando o produto interno usual. A norma de é dada por:
Isso significa que a norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes do vetor.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor |u| = raiz6^2 + a^2 + (-1)^2 = raiz36 + a^2 + 1 = raiza^2 + 37 , temos:
Queremos que essa norma seja igual a , então vamos igualar as duas expressões.

Passo 4

Igualando as normas:
raiza^2 + 37 = raiz41
Para resolver essa equação, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
a^2 + 37 = 41

Passo 5

Agora, vamos resolver para a^2 = 41 - 37 :
a^2 = 4
a = pm 2
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando de considerar tanto a solução positiva quanto a negativa:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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