Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
(a) Mostre que 12(A+A^T) é simétrica.
(b) Mostre que 12(A-A^T) é antissimétrica.
© Demonstre que A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica B e de uma matriz antissimétrica C, ou seja, A=B+C.
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica:
A=[ccc 2 & 5 & 3 -3 & 6 & 0 4 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes quadradas! A questão tem quatro partes, onde vamos explorar propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas. Para isso, precisamos saber o que são matrizes simétricas (onde a matriz é igual à sua transposta, ou seja, ) e antissimétricas (onde a matriz é igual ao negativo da sua transposta, ou seja, ). Vamos precisar aplicar essas definições e manipular matrizes para demonstrar as afirmativas.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): mostrar que é simétrica. Primeiro, lembrando que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Então, vamos calcular a transposta de e ver se é igual à própria matriz.

Passo 3

Calculando a transposta:
( 12(A + A^T) )^T = 12(A^T + (A^T)^T) = 12(A^T + A) = 12(A + A^T)
Vimos que a transposta de é igual a ela mesma, então essa matriz é simétrica.

Passo 4

Agora, na parte (b), vamos mostrar que é antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se sua transposta for igual ao negativo dela mesma. Vamos calcular a transposta de e verificar essa propriedade.

Passo 5

Calculando a transposta:
( 12(A - A^T) )^T = 12(A^T - (A^T)^T) = 12(A^T - A) = -12(A - A^T)
Vemos que a transposta é o negativo da matriz original, confirmando que é antissimétrica.

Passo 6

Seguimos para a parte ©, onde precisamos demonstrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica , ou seja, . Já vimos como construir e nas partes anteriores, então vamos utilizar essas definições.

Passo 7

Definindo:
B = 12(A + A^T) (simétrica) é
C = 12(A - A^T) (antissimétrica) é
Somando B + C = 12(A + A^T) + 12(A - A^T) = 12(2A) = A e :
Assim, é a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

Passo 8

Por último, na parte (d), vamos escrever a matriz específica A = 2 & 5 & 3 -3 & 6 & 0 4 & 1 & 1 como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica. A matriz dada é:
Vamos calcular e .

Passo 9

Calculando A^T = 2 & -3 & 4 5 & 6 & 1 3 & 0 & 1 :
B = 12( 2 & 5 & 3 -3 & 6 & 0 4 & 1 & 1 + 2 & -3 & 4 5 & 6 & 1 3 & 0 & 1 ) = 12 4 & 2 & 7 2 & 12 & 1 7 & 1 & 2 = 2 & 1 & 3.5 1 & 6 & 0.5 3.5 & 0.5 & 1
C = 12( 2 & 5 & 3 -3 & 6 & 0 4 & 1 & 1 - 2 & -3 & 4 5 & 6 & 1 3 & 0 & 1 ) = 12 0 & 8 & -1 -8 & 0 & -1 1 & 1 & 0 = 0 & 4 & -0.5 -4 & 0 & -0.5 0.5 & 0.5 & 0
Calculando :

Resposta

A matriz A = B + C = 2 & 1 & 3.5 1 & 6 & 0.5 3.5 & 0.5 & 1 + 0 & 4 & -0.5 -4 & 0 & -0.5 0.5 & 0.5 & 0 pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica da seguinte forma:

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