Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes quadradas! A questão tem quatro partes, onde vamos explorar propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas. Para isso, precisamos saber o que são matrizes simétricas (onde a matriz é igual à sua transposta, ou seja, ) e antissimétricas (onde a matriz é igual ao negativo da sua transposta, ou seja, ). Vamos precisar aplicar essas definições e manipular matrizes para demonstrar as afirmativas.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): mostrar que é simétrica. Primeiro, lembrando que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Então, vamos calcular a transposta de e ver se é igual à própria matriz.
Passo 3
Calculando a transposta:
Vimos que a transposta de é igual a ela mesma, então essa matriz é simétrica.
Passo 4
Agora, na parte (b), vamos mostrar que é antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se sua transposta for igual ao negativo dela mesma. Vamos calcular a transposta de e verificar essa propriedade.
Passo 5
Calculando a transposta:
Vemos que a transposta é o negativo da matriz original, confirmando que é antissimétrica.