Seja A uma matriz quadrada de ordem .
(a) Mostre que é simétrica.
(b) Mostre que é antissimétrica.
© Demonstre que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica , ou seja, .
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes quadradas! A questão tem quatro partes, onde vamos explorar propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas. Para isso, precisamos saber o que são matrizes simétricas (onde a matriz é igual à sua transposta, ou seja, ) e antissimétricas (onde a matriz é igual ao negativo da sua transposta, ou seja, ). Vamos precisar aplicar essas definições e manipular matrizes para demonstrar as afirmativas.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): mostrar que é simétrica. Primeiro, lembrando que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Então, vamos calcular a transposta de e ver se é igual à própria matriz.

Passo 3

Calculando a transposta:
Vimos que a transposta de é igual a ela mesma, então essa matriz é simétrica.

Passo 4

Agora, na parte (b), vamos mostrar que é antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se sua transposta for igual ao negativo dela mesma. Vamos calcular a transposta de e verificar essa propriedade.

Passo 5

Calculando a transposta:
Vemos que a transposta é o negativo da matriz original, confirmando que é antissimétrica.

Passo 6

Seguimos para a parte ©, onde precisamos demonstrar que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica , ou seja, . Já vimos como construir e nas partes anteriores, então vamos utilizar essas definições.

Passo 7

Definindo:
é
é
Somando e :
Assim, é a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

Passo 8

Por último, na parte (d), vamos escrever a matriz específica como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica. A matriz dada é:
Vamos calcular e .

Passo 9

Calculando :
Calculando :

Resposta

A matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica da seguinte forma:

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