Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes quadradas! A questão tem quatro partes, onde vamos explorar propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas. Para isso, precisamos saber o que são matrizes simétricas (onde a matriz é igual à sua transposta, ou seja, ) e antissimétricas (onde a matriz é igual ao negativo da sua transposta, ou seja, ). Vamos precisar aplicar essas definições e manipular matrizes para demonstrar as afirmativas.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): mostrar que é simétrica. Primeiro, lembrando que uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Então, vamos calcular a transposta de e ver se é igual à própria matriz.
Vimos que a transposta de é igual a ela mesma, então essa matriz é simétrica.
Passo 4
Agora, na parte (b), vamos mostrar que é antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se sua transposta for igual ao negativo dela mesma. Vamos calcular a transposta de e verificar essa propriedade.
Somando B + C = 12(A + A^T) + 12(A - A^T) = 12(2A) = A e :
Assim, é a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.
Passo 8
Por último, na parte (d), vamos escrever a matriz específica A = 2 & 5 & 3 -3 & 6 & 0 4 & 1 & 1 como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica. A matriz dada é:
A matriz A = B + C = 2 & 1 & 3.5 1 & 6 & 0.5 3.5 & 0.5 & 1 + 0 & 4 & -0.5 -4 & 0 & -0.5 0.5 & 0.5 & 0 pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica da seguinte forma: