Considere o campo vetorial F(x, y)=P i+Q j=2 x y(x^2+y^2)^2 i+y^2-x^2(x^2+y^2)^2 j.
(a) Mostre que partial Ppartial y=partial Qpartial x. O campo F é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um campo vetorial , onde e . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e o conceito de campos conservativos. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e depois verificar se elas são iguais para concluir se o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de P = 2xy(x^2 + y^2)^2 em relação a partial Ppartial y = 2x(x^2 + y^2)^2 - 2xy cdot 2(x^2 + y^2) cdot 2y(x^2 + y^2)^4 . Temos:
partial Ppartial y = 2x(x^2 + y^2) - 8xy^2(x^2 + y^2)^3 = 2x^3 + 2xy^2 - 8xy^2(x^2 + y^2)^3 = 2x^3 - 6xy^2(x^2 + y^2)^3
Para derivar em relação a , usamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de Q = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 em relação a partial Qpartial x = -2x(x^2 + y^2)^2 - (y^2 - x^2) cdot 2(x^2 + y^2) cdot 2x(x^2 + y^2)^4 . Temos:
partial Qpartial x = -2x(x^2 + y^2) - 4x(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^3 = -2x^3 - 2xy^2 - 4xy^2 + 4x^3(x^2 + y^2)^3 = 2x^3 - 6xy^2(x^2 + y^2)^3
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 4

Comparando as duas derivadas que calculamos:
partial Ppartial y = 2x^3 - 6xy^2(x^2 + y^2)^3 e partial Qpartial x = 2x^3 - 6xy^2(x^2 + y^2)^3
Percebemos que . Esse é um dos critérios para que um campo seja conservativo. Mas para concluir se é conservativo, precisamos saber se o domínio onde está definido é simplesmente conexo, ou seja, sem “buracos”. Se sim, então o campo é conservativo.

Resposta

As derivadas parciais e são iguais, ou seja, . Portanto, o campo vetorial é conservativo.

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