Considere o campo vetorial
.
(a) Mostre que
. O campo
é conservativo?
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um campo vetorial
, onde
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e o conceito de campos conservativos. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e depois verificar se elas são iguais para concluir se o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Temos:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra do quociente:
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 4
Comparando as duas derivadas que calculamos:
Percebemos que
. Esse é um dos critérios para que um campo seja conservativo. Mas para concluir se
é conservativo, precisamos saber se o domínio onde
está definido é simplesmente conexo, ou seja, sem “buracos”. Se sim, então o campo é conservativo.
Resposta
As derivadas parciais
e
são iguais, ou seja,
. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
a)
a)
Derive as funções abaixo
Ache o gradiente de
em
e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de
em
.
a)
a)
Calcule a integral
, onde
e
é uma curva suave por partes, que vai de
a
.