Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
a) f(x, y) = y^2 tg(x); U = -raiz(3)/2 * i + 1/2 * j; P0 = (pi/3, 2)

Passo 1

Então, a gente tem que achar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, gradiente de uma função e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o vetor direção em um vetor unitário . Isso é importante porque a derivada direcional usa a direção pura, sem considerar o comprimento do vetor.
Então, já é um vetor unitário .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto .
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituindo e no gradiente:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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