Ache o valor da derivada direcional no ponto para a função dada na direção e sentido de .
a)
Passo 1
Então, a gente tem que achar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, gradiente de uma função e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o vetor direção em um vetor unitário . Isso é importante porque a derivada direcional usa a direção pura, sem considerar o comprimento do vetor.
Então, já é um vetor unitário .
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto .
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituindo e no gradiente:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .