Um fio possui o formato da semicircunferência superior
e densidade linear em cada ponto do fio proporcional à distância do ponto à origem. Determine a massa e o centro de massa do fio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio que tem o formato de uma semicircunferência superior, ou seja, metade de um círculo com raio 1 (já que
define um círculo de raio 1) e
garante que estamos na parte de cima. A densidade linear do fio em cada ponto é proporcional à distância desse ponto até a origem. Nosso objetivo é determinar a massa total do fio e o centro de massa dele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do problema. Temos um fio no formato de uma semicircunferência superior de raio 1. Além da semicircunferência, também temos a reta que conecta os dois extremos da semicircunferência, ou seja, a base do semicículo. Então, o fio é composto por duas partes: a semicircunferência e a base reta.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas partes para facilitar: calcular a massa e o centro de massa da semicircunferência e da base reta separadamente, e depois somar os resultados.
Passo 4
Massa da Semicircunferência:
A densidade linear
é proporcional à distância do ponto até a origem. Na semicircunferência, todos os pontos estão a uma distância de 1 da origem (pois
). Então, podemos dizer que
, onde
é a constante de proporcionalidade.
O comprimento da semicircunferência é
.
Assim, a massa
da semicircunferência é:
Centro de Massa da Semicircunferência:
De simetria, sabemos que o centro de massa da semicircunferência está no eixo y, na altura
. Como
:
E
, pois é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 5
Massa da Base Reta:
A base reta vai de
a
no eixo x, com
. A distância de cada ponto nessa base até a origem é
.
Então, a densidade linear aqui é
.
Para encontrar a massa
, integramos
ao longo da base:
Centro de Massa da Base Reta:
De simetria, sabemos que o centro de massa está no meio da base, ou seja, em
e
:
Passo 6
Massa Total:
Somamos as massas das duas partes:
Centro de Massa Total:
Para encontrar o centro de massa total
, usamos as fórmulas:
Resposta
A massa total do fio é
e o centro de massa está na posição
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral do campo de vetores
ao longo da curva
.
Ache o gradiente da função dada.
d)
d)
Calcule a integral
onde
é uma curva suave que percorre a elipse
no sentido anti-horário, uma única vez.
Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule a integral onde
é a curva com equações paramétrias
(b) Calcule a integral