Um fio possui o formato da semicircunferência superior x^2 + y^2 <= 1, y >= 0 e densidade linear em cada ponto do fio proporcional à distância do ponto à origem. Determine a massa e o centro de massa do fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio que tem o formato de uma semicircunferência superior, ou seja, metade de um círculo com raio 1 (já que define um círculo de raio 1) e garante que estamos na parte de cima. A densidade linear do fio em cada ponto é proporcional à distância desse ponto até a origem. Nosso objetivo é determinar a massa total do fio e o centro de massa dele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como parametrização de curvas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do problema. Temos um fio no formato de uma semicircunferência superior de raio 1. Além da semicircunferência, também temos a reta que conecta os dois extremos da semicircunferência, ou seja, a base do semicículo. Então, o fio é composto por duas partes: a semicircunferência e a base reta.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas partes para facilitar: calcular a massa e o centro de massa da semicircunferência e da base reta separadamente, e depois somar os resultados.

Passo 4

Massa da Semicircunferência:
A densidade linear é proporcional à distância do ponto até a origem. Na semicircunferência, todos os pontos estão a uma distância de 1 da origem (pois ). Então, podemos dizer que , onde é a constante de proporcionalidade.
O comprimento da semicircunferência é .
Assim, a massa da semicircunferência é:
Centro de Massa da Semicircunferência:
De simetria, sabemos que o centro de massa da semicircunferência está no eixo y, na altura . Como :
E , pois é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 5

Massa da Base Reta:
A base reta vai de a no eixo x, com . A distância de cada ponto nessa base até a origem é .
Então, a densidade linear aqui é .
Para encontrar a massa , integramos ao longo da base:
Centro de Massa da Base Reta:
De simetria, sabemos que o centro de massa está no meio da base, ou seja, em e :

Passo 6

Massa Total:
Somamos as massas das duas partes:
Centro de Massa Total:
Para encontrar o centro de massa total , usamos as fórmulas:

Resposta

A massa total do fio é e o centro de massa está na posição .

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Calcule a integral do campo de vetores F(x, y, z) = x^2 * i + 2 * x * y * j + 2 * k ao longo da curva r(t) = (t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.
Ache o gradiente da função dada.
d) f(x, y, z) = e^(2z) * (sen(x) - cos(y))
Calcule a integral integralC-y d x+x d y onde C é uma curva suave que percorre a elipse x^23+y^25=1 no sentido anti-horário, uma única vez.
Considere o campo vetorial F(x, y)=xx^2+y^2 i+yx^2+y^2 j.
(b) Calcule a integral ointC F cdot d r onde C é a curva com equações paramétrias
x=1-e^sen(t), y=1-e^cos (t), 0 <= t <= 2 pi