Calcule os limites que se pede. Caso o limite não exista, justifique este fato.
lim x -2 4-x^22+x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício fala sobre limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções próximas a um ponto específico. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar expressões algébricas e cancelar termos semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se substituirmos diretamente 4 - (-2)^22 + (-2) = 4 - 40 = 00 na função:
A gente se depara com uma indeterminação , o que significa que precisamos simplificar a expressão para descobrir o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador 4 - x^2 = (2)^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
(2 - x)(2 + x)2 + x
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, observamos que o termo (2 - x)cancel(2 + x)cancel2 + x = 2 - x está no numerador e no denominador. Desde que (o que é válido porque estamos estudando o limite e está se aproximando de -2, mas não exatamente igual a -2), podemos cancelar esses termos:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 :

Resposta

O limite é igual a 4.

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