Avalie os seguintes integrais de linha. integralC F cdot d s, onde F(x, y, z)=z i+y j-x k, e onde C é a curva parametrizada por sigma(t)=t i+sin t j+cos t k,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é basicamente somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva. Aqui, temos o campo vetorial e a curva parametrizada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir tudo na fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização dsigmadt = ddt( t,i + sin t,j + cos t,k ) = 1,i + cos t,j - sin t,k em relação a . Isso nos dá o vetor tangente à curva, que é necessário para a integral de linha. Vamos derivar componente por componente:

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização F(sigma(t)) = cos t,i + sin t,j - t,k no campo vetorial . Isso significa que vamos substituir , e na expressão de :

Passo 4

A integral de linha integralC F cdot ds = integrala^b F(sigma(t)) cdot dsigmadt , dt pode ser reescrita em termos de usando a parametrização:
Precisamos determinar os limites de integração e . Vamos supor que varia de a para completar uma volta na curva (isso pode variar dependendo do contexto do problema).

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(sigma(t)) cdot dsigmadt = (cos t)(1) + (sin t)(cos t) + (-t)(-sin t) = cos t + sin t cos t + t sin t :

Passo 6

Vamos integrar essa expressão de integral0^2pi ( cos t + sin t cos t + t sin t ) dt a :
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.

Passo 7

Integrando integral0^2pi cos t , dt = sin t |0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 :

Passo 8

Integrando integral0^2pi sin t cos t , dt = 12 integral0^2pi sin(2t) , dt = 12 ( -cos(2t)2 ) |0^2pi = 12 ( -cos(4pi) - cos(0)2 ) = 0 :
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 9

Integrando integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t :
Para isso, usamos integração por partes onde [ -t cos t + sin t ]0^2pi = [ -2pi cos(2pi) + sin(2pi) ] - [ -0 cos(0) + sin(0) ] = -2pi(1) + 0 - 0 + 0 = -2pi e . Então, e .
Agora, aplicando os limites de a :

Resposta

Somando todas as partes:
0 + 0 + (-2pi) = -2pi
Então, a integral de linha vale .

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