Avalie os seguintes integrais de linha. , onde , e onde é a curva parametrizada por ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é basicamente somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva. Aqui, temos o campo vetorial e a curva parametrizada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir tudo na fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a . Isso nos dá o vetor tangente à curva, que é necessário para a integral de linha. Vamos derivar componente por componente:

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial . Isso significa que vamos substituir , e na expressão de :

Passo 4

A integral de linha pode ser reescrita em termos de usando a parametrização:
Precisamos determinar os limites de integração e . Vamos supor que varia de a para completar uma volta na curva (isso pode variar dependendo do contexto do problema).

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Vamos integrar essa expressão de a :
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.

Passo 7

Integrando :

Passo 8

Integrando :
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 9

Integrando :
Para isso, usamos integração por partes onde e . Então, e .
Agora, aplicando os limites de a :

Resposta

Somando todas as partes:
Então, a integral de linha vale .

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a)
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