Avalie os seguintes integrais de linha. , onde , e onde é a curva parametrizada por ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é basicamente somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva. Aqui, temos o campo vetorial e a curva parametrizada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e substituir tudo na fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a . Isso nos dá o vetor tangente à curva, que é necessário para a integral de linha. Vamos derivar componente por componente:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial . Isso significa que vamos substituir , e na expressão de :
Passo 4
A integral de linha pode ser reescrita em termos de usando a parametrização:
Precisamos determinar os limites de integração e . Vamos supor que varia de a para completar uma volta na curva (isso pode variar dependendo do contexto do problema).
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Vamos integrar essa expressão de a :
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Passo 7
Integrando :
Passo 8
Integrando integral0^2pi sin t cos t , dt = 12 integral0^2pi sin(2t) , dt = 12 ( -cos(2t)2 ) |0^2pi = 12 ( -cos(4pi) - cos(0)2 ) = 0 :
Usando a identidade trigonométrica :
Passo 9
Integrando integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t :
Para isso, usamos integração por partes onde [ -t cos t + sin t ]0^2pi = [ -2pi cos(2pi) + sin(2pi) ] - [ -0 cos(0) + sin(0) ] = -2pi(1) + 0 - 0 + 0 = -2pi e . Então, e .