Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
c) f(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz) ; U = -1/3 * i + 2/3 * j + 2/3 * k ; P0 = (2, 0, -3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da derivada direcional da função no ponto na direção e sentido do vetor . Pra isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que o vetor seja um vetor unitário. Isso significa que o comprimento (ou norma) do vetor deve ser 1. Calculamos a norma de :
Então, já é um vetor unitário. Ótimo!

Passo 3

Agora, precisamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Vamos calcular esse produto escalar:

Resposta

O valor da derivada direcional no ponto na direção de é 2.

Exercícios relacionados

Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
a) f(x) = { a se x = 2, (x^3 - 8)/(x - 2) } se x != 2
Seja f(x) = [sen(x) + cos(x)]^3, calcule a reta tangente a função f no ponto 0,1.
Derive as funções abaixo f(x) = 2 sen(1/2 arcsen(x)) cos(1/2 arcsen(x)).
Ache o gradiente de f em P e a taxa de variação dos valores funcionais na direção de U em P.
d) f(x, y, z) = 2x^3 + xy^2 + xz^2 ; P = (1, 1, 1) ; U = (raiz(21)/7) * j - (2 * raiz(7)/7) * k