Ache o valor da derivada direcional no ponto para a função dada na direção e sentido de .
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da derivada direcional da função no ponto na direção e sentido do vetor . Pra isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que o vetor seja um vetor unitário. Isso significa que o comprimento (ou norma) do vetor deve ser 1. Calculamos a norma de :
Então, já é um vetor unitário. Ótimo!
Passo 3
Agora, precisamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Vamos calcular esse produto escalar:
Resposta
O valor da derivada direcional no ponto na direção de é 2.