Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = ((n-1)/n)^n

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é descobrir se essa sequência converge para algum número específico quando cresce sem limites, ou seja, se ela tem um limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência. Podemos reescrever como . Assim, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites envolvendo números de forma similar a elevados à potência . Sabemos que:
Onde é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 4

Calculando o limite da nossa sequência usando essa propriedade:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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