Encontre a expressão da derivada seguinte
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a derivada de uma integral que tem o limite inferior como uma variável (x) e o limite superior como uma constante (5). A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de x, a derivada dessa integral em relação a x pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral nos limites variáveis e multiplicando pelas derivadas desses limites.
Matematicamente, se temos:
A derivada será:
Passo 3
No nosso caso específico, a integral é:
Aqui, o limite inferior
e o limite superior
.
Passo 4
Vamos aplicar o teorema agora:
- Avaliamos a função dentro da integral no limite superior:
. - Derivamos o limite superior:
(porque 5 é uma constante). - Avaliamos a função no limite inferior:
. - Derivamos o limite inferior:
.
Aplicando a fórmula:
Resposta
A derivada é igual a
.
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Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
e
Ache por integração a área do triângulo com vertices seguintes:
e
e