Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral da função escalar sobre a superfície da esfera definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície em geometria tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a esfera usando coordenadas esféricas, já que isso facilita os cálculos. Em coordenadas esféricas, as coordenadas , e são dadas por:
Como estamos trabalhando com a esfera de raio 1, temos .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o elemento de área em coordenadas esféricas. A fórmula para o elemento de área é:
Como , simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos na função :

Passo 5

A integral de superfície que queremos calcular fica então:

Passo 6

Simplificamos a expressão da integral:

Passo 7

Calculamos cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 8

Multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

A integral da função sobre a esfera é .

Exercícios relacionados

Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica e
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre o cilindro parabólico .
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
, sobre a porção do plano acima do quadrado , no plano XY.
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície e pelos planos e .