Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
, sobre a porção do plano
acima do quadrado ,
no plano XY.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular a integral da função escalar
sobre uma superfície específica. Essa superfície é a porção do plano
que fica acima de um quadrado no plano XY, onde
e
. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos de cálculo de integrais de funções escalares sobre superfícies, principalmente aplicando a parametrização de superfícies planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano:
. Podemos resolver essa equação para
e obter
. Assim, a função que queremos integrar,
, fica
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de área
da superfície. Para isso, usamos a fórmula:
Como
, temos:
Substituindo na fórmula do
:
Passo 4
Com o
encontrado, a integral que queremos calcular fica:
Podemos fatorar o
fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região é o quadrado
e
, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Resposta
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Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera
.
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a superfície cilíndrica
e
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície
e pelos planos
e
.
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para cima, através da porção do plano
que está acima do quadrado
.