Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
G(x, y, z) = z, sobre a porção do plano x + y + z = 4 acima do quadrado , 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 no plano XY.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular a integral da função escalar sobre uma superfície específica. Essa superfície é a porção do plano que fica acima de um quadrado no plano XY, onde e . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conhecimentos de cálculo de integrais de funções escalares sobre superfícies, principalmente aplicando a parametrização de superfícies planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano: . Podemos resolver essa equação para e obter . Assim, a função que queremos integrar, , fica .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o elemento de área da superfície. Para isso, usamos a fórmula:
Como , temos:
Substituindo na fórmula do :

Passo 4

Com o encontrado, a integral que queremos calcular fica:
Podemos fatorar o fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região é o quadrado e , a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:

Resposta

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