Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através das superfícies especificadas. Isso envolve conhecimentos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como aplicar o teorema da divergência e fazer algumas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quantidade” do campo está passando por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde
é o campo vetorial e
é um vetor vetorial que representa um elemento de área da superfície
.
Passo 3
Para facilitar nosso cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema é:
Onde
é o volume dentro da superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração para o volume
. A superfície é definida por
com
, e aberto pelos planos
e
. Então,
varia de
a
,
varia de
a
(já que
define a fronteira), e
varia de
a
.
Passo 6
Vamos montar a integral tripla usando os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Sabemos que a integral de
de
a
é zero, pois é uma função ímpar:
Portanto:
Resposta
O fluxo através das superfícies é
.
Exercícios relacionados
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
, sobre a porção do plano
acima do quadrado ,
no plano XY.
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera
.
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para cima, através da porção do plano
que está acima do quadrado
.
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora através do cilindro
cortado pelos planos
e
.