Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora da superfície e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através das superfícies especificadas. Isso envolve conhecimentos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como aplicar o teorema da divergência e fazer algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quantidade” do campo está passando por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde é o campo vetorial e é um vetor vetorial que representa um elemento de área da superfície .

Passo 3

Para facilitar nosso cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema é:
Onde é o volume dentro da superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração para o volume . A superfície é definida por com , e aberto pelos planos e . Então, varia de a , varia de a (já que define a fronteira), e varia de a .

Passo 6

Vamos montar a integral tripla usando os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :
Sabemos que a integral de de a é zero, pois é uma função ímpar:
Portanto:

Resposta

O fluxo através das superfícies é .

Exercícios relacionados

Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
, sobre a porção do plano acima do quadrado , no plano XY.
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
sobre a esfera .
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para cima, através da porção do plano que está acima do quadrado .
Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
para fora através do cilindro cortado pelos planos e .