Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
F = (0, x^2, -x z) para fora da superfície y = x^(2), -1 <= x <= 1 e pelos planos z = 0 e z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através das superfícies especificadas. Isso envolve conhecimentos de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como aplicar o teorema da divergência e fazer algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quantidade” do campo está passando por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde F é o campo vetorial e é um vetor vetorial que representa um elemento de área da superfície S.

Passo 3

Para facilitar nosso cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. A fórmula do teorema é:
Onde V é o volume dentro da superfície S.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração para o volume V. A superfície é definida por com -1 <= x <= 1, e aberto pelos planos e . Então, x varia de -1 a 1, y varia de 0 a x^2 (já que define a fronteira), e z varia de 0 a .

Passo 6

Vamos montar a integral tripla usando os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a z:

Passo 7

Agora, integramos em relação a y:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a x:
Sabemos que a integral de x^3 de -1 a 1 é zero, pois é uma função ímpar:
Portanto:

Resposta

O fluxo através das superfícies é 0.

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