Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado: para cima, através da porção do plano que está acima do quadrado .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície específica. A matéria envolvida é Cálculo Vetorial, mais precisamente o Teorema de Fluxo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado: . A superfície através da qual queremos calcular o fluxo é a porção do plano que está acima do quadrado e .
Passo 3
Para calcular o fluxo, precisamos da fórmula:
Onde é o vetor normal à superfície e é o elemento de área.
Passo 4
Vamos encontrar o vetor normal ao plano . O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de , e na equação do plano. Assim, . Para orientarmos “para cima”, mantemos esse vetor normal.
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor normal para encontrar . Calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário normal é:
Passo 6
Expressamos o elemento de área em termos de e . A equação do plano pode ser reescrita como . Então, a derivada parcial de em relação a e são:
Assim, o elemento de área é:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula do fluxo:
Onde é a projeção da superfície no plano , que é o quadrado e .
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Sabendo que , substituímos na função:
Passo 9
Expandimos e simplificamos a expressão dentro da integral:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 10
Agora, configuramos os limites de integração para o quadrado : e . Então, a integral fica: