Calcule o fluxo através das superfícies, no sentido dado:
F = (2xy, 2yz, 2xz) para cima, através da porção do plano x + y + z = 2 que está acima do quadrado 0 <= x <= a e 0 <= y <= a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície específica. A matéria envolvida é Cálculo Vetorial, mais precisamente o Teorema de Fluxo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial dado: . A superfície através da qual queremos calcular o fluxo é a porção do plano que está acima do quadrado 0 <= x <= a e 0 <= y <= a.

Passo 3

Para calcular o fluxo, precisamos da fórmula:
Onde n é o vetor normal à superfície S e é o elemento de área.

Passo 4

Vamos encontrar o vetor normal ao plano . O vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Assim, . Para orientarmos “para cima”, mantemos esse vetor normal.

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor normal para encontrar n. Calculamos o módulo de n:
Então, o vetor unitário normal é:

Passo 6

Expressamos o elemento de área em termos de e . A equação do plano pode ser reescrita como . Então, a derivada parcial de z em relação a x e y são:
Assim, o elemento de área é:

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula do fluxo:
Onde D é a projeção da superfície no plano xy, que é o quadrado 0 <= x <= a e 0 <= y <= a.

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Sabendo que , substituímos na função:

Passo 9

Expandimos e simplificamos a expressão dentro da integral:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 10

Agora, configuramos os limites de integração para o quadrado D: 0 <= x <= a e 0 <= y <= a. Então, a integral fica:

Passo 11

Integramos primeiro em relação a y:
Substituindo :

Passo 12

Agora, integramos em relação a x:
Integrando termo a termo:
Substituindo :

Passo 13

Simplificamos os termos:

Resposta

O fluxo através da superfície é:

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