Ache a integral indefinida:
(f)
(f)
Passo 1
Resumo do Exercício:
A gente precisa encontrar a integral indefinida de . Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas propriedades de integrais.
A gente precisa encontrar a integral indefinida de
Passo 2
Escolhendo a Substituição:
Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar . Essa substituição é útil porque o termo
vai se transformar em uma forma que envolve o cosseno, facilitando a integral.
Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar
Passo 3
Calculando
:
Com , derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Com
Passo 4
Substituindo na Integral:
Agora, vamos substituir e
na integral original:
Agora, vamos substituir
Simplificando:
Passo 5
Integrando
:
Sabemos que . Então:
Sabemos que
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para
:
Lembrando que fizemos a substituição , podemos expressar
e
em termos de
:
Lembrando que fizemos a substituição
E
Passo 7
Escrevendo a Resposta Final:
Substituindo de volta, temos:
Substituindo de volta, temos:
Resposta
A integral indefinida é igual a
.
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Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(g) Se a sequência converge, então a série
também converge.
(g) Se a sequência
Dado um número inteiro
, uma função
é chamada positivamente homogênea de grau
se
, para todo
e todo
. Demonstre:
Teorema (Euler) Se é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau
, então
.
Teorema (Euler) Se
Considere a superfície
sendo a região da calota superior do elipsoide
compreendida entre
e
. Descreva
na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de
sobre
.
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(l) A série de potências é convergente no intervalo
e sua soma é igual a
.
(l) A série de potências