Ache a integral indefinida:
(f) integral x^2raiz(4-x^2)^3 d x

Passo 1

Resumo do Exercício:
A gente precisa encontrar a integral indefinida de . Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Escolhendo a Substituição:
Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos deixar . Essa substituição é útil porque o termo vai se transformar em uma forma que envolve o cosseno, facilitando a integral.

Passo 3

Calculando dx = 2 cos(theta) , dtheta :
Com , derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo na Integral:
Agora, vamos substituir integral x^2raiz(4-x^2)^3 , dx = integral (2 sin(theta))^2raiz(4 - (2 sin(theta))^2)^3 cdot 2 cos(theta) , dtheta e = integral 4 sin^2(theta)raiz(4 - 4 sin^2(theta))^3 cdot 2 cos(theta) , dtheta na integral original:
= integral 4 sin^2(theta)raiz4^3 (1 - sin^2(theta))^3 cdot 2 cos(theta) , dtheta
Simplificando:
= integral 4 sin^2(theta)8 cos^3(theta) cdot 2 cos(theta) , dtheta
= integral sin^2(theta)cos^2(theta) , dtheta
= integral tan^2(theta) , dtheta

Passo 5

Integrando integral tan^2(theta) , dtheta = integral (sec^2(theta) - 1) , dtheta = tan(theta) - theta + C :
Sabemos que . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para tan(theta) = sin(theta)cos(theta) = x/2raiz1 - (x/2)^2 = xraiz4 - x^2 :
Lembrando que fizemos a substituição theta = arcsin(x2) , podemos expressar e em termos de :
E

Passo 7

Escrevendo a Resposta Final:
Substituindo de volta, temos:
integral x^2raiz(4-x^2)^3 , dx = xraiz4 - x^2 - arcsin(x2) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a .

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