Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(g) Se a sequência
converge, então a série
também converge.
(g) Se a sequência
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa analisar se a afirmação “Se a sequência
converge, então a série
também converge” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência
convergir. Isso quer dizer que, conforme
aumenta, os valores de
se aproximam cada vez mais de um número específico
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre séries. A série
converge se a soma dos seus termos
se aproxima de um valor finito conforme somamos mais e mais termos. Um ponto importante é que, para a série convergir, a sequência dos termos
precisa atender a uma condição necessária:
.
Passo 4
A afirmação diz que se
converge, então
também converge. Vamos pensar: se
converge para um número qualquer
, se
, então a série
não pode convergir, porque os termos não estão indo para zero. Se
, a condição necessária está atendida, mas isso não garante que a série irá convergir – apenas que ela pode convergir.
Passo 5
Para mostrar que a afirmação é falsa, vamos apresentar um contraexemplo. Considere a sequência
. Essa sequência converge para 0, já que
. No entanto, a série
é a série harmônica, que é conhecida por divergir, ou seja, não converge para um valor finito.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência
, que converge para 0, mas a série
diverge.
Exercícios relacionados
Dado um número inteiro
, uma função
é chamada positivamente homogênea de grau
se
, para todo
e todo
. Demonstre:
Teorema (Euler) Se é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau
, então
.
Teorema (Euler) Se
O campo magnético gerado por uma carga na origem é dado por
a) Mostre que o fluxo do campo
através de qualquer esfera centrada na origem, de raio
, na direção do vetor unitário normal exterior é igual
.
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?
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Ache a integral indefinida:
(f)
(f)
Considere a superfície
sendo a região da calota superior do elipsoide
compreendida entre
e
. Descreva
na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de
sobre
.