Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(g) Se a sequência un converge, então a série sumn=1^infty un também converge.

Resolução Verificada

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa analisar se a afirmação “Se a sequência converge, então a série também converge” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries da matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Isso quer dizer que, conforme aumenta, os valores de se aproximam cada vez mais de um número específico . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre séries. A série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um valor finito conforme somamos mais e mais termos. Um ponto importante é que, para a série convergir, a sequência dos termos precisa atender a uma condição necessária: .

Passo 4

A afirmação diz que se converge, então também converge. Vamos pensar: se converge para um número qualquer , se , então a série não pode convergir, porque os termos não estão indo para zero. Se , a condição necessária está atendida, mas isso não garante que a série irá convergir – apenas que ela pode convergir.

Passo 5

Para mostrar que a afirmação é falsa, vamos apresentar um contraexemplo. Considere a sequência . Essa sequência converge para 0, já que . No entanto, a série é a série harmônica, que é conhecida por divergir, ou seja, não converge para um valor finito.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência , que converge para 0, mas a série diverge.

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