Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(g) Se a sequência
converge, então a série
também converge.
(g) Se a sequência
Resolução Verificada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa analisar se a afirmação “Se a sequência
converge, então a série
também converge” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e séries da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência
convergir. Isso quer dizer que, conforme
aumenta, os valores de
se aproximam cada vez mais de um número específico
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre séries. A série
converge se a soma dos seus termos
se aproxima de um valor finito conforme somamos mais e mais termos. Um ponto importante é que, para a série convergir, a sequência dos termos
precisa atender a uma condição necessária:
.
Passo 4
A afirmação diz que se
converge, então
também converge. Vamos pensar: se
converge para um número qualquer
, se
, então a série
não pode convergir, porque os termos não estão indo para zero. Se
, a condição necessária está atendida, mas isso não garante que a série irá convergir – apenas que ela pode convergir.
Passo 5
Para mostrar que a afirmação é falsa, vamos apresentar um contraexemplo. Considere a sequência
. Essa sequência converge para 0, já que
. No entanto, a série
é a série harmônica, que é conhecida por divergir, ou seja, não converge para um valor finito.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência
, que converge para 0, mas a série
diverge.