Dado um número inteiro
, uma função
é chamada positivamente homogênea de grau
se
, para todo
e todo
. Demonstre:
Teorema (Euler) Se
é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau
, então
.
Teorema (Euler) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um teorema que liga funções homogeneousas a suas derivadas parciais. Basicamente, se a gente tem uma função que, quando você escala a entrada por um número
, a saída é escalada por
, onde
é um número inteiro, essa função satisfaz um certo tipo de igualdade envolvendo suas derivadas. Para provar isso, vamos precisar usar o conceito de homogeneidade e derivadas parciais. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser positivamente homogênea de grau
. Isso quer dizer que para todo vetor
em
e para todo escalar positivo
, temos:
Isso é a definição que vamos usar para explorar as propriedades da função
.
Passo 3
Agora, para conectar essa propriedade com as derivadas parciais da função, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Ou seja, vamos derivar
e
em relação a
. Lembre-se que
é continuamente diferenciável, então podemos trocar a ordem da derivada e da função.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, igualando as duas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa igualdade no ponto
. Isso é útil porque simplifica a equação e nos dá uma relação direta na forma que queremos.
Substituindo
:
Então, temos:
Passo 5
Finalmente, vamos isolar
na equação acima para chegar à forma que o teorema propõe. Basta dividir ambos os lados por
:
Isso mostra que a função
pode ser expressa como a média ponderada de suas derivadas parciais, ponderadas pelos componentes de
.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau
, então:
para todo
. Pronto!