Dado um número inteiro m, uma função f: R^n R é chamada positivamente homogênea de grau m se f(t x)=t^m f(x), para todo x in R^n e todo t in R, t>0. Demonstre:
Teorema (Euler) Se f: R^n backslash0 R é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau m >= 1, então f(x)=1m sumi=1^n xi partial fpartial xi(x), forall x=(x1, ldots, xn) in R^n backslash0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um teorema que liga funções homogeneousas a suas derivadas parciais. Basicamente, se a gente tem uma função que, quando você escala a entrada por um número , a saída é escalada por , onde é um número inteiro, essa função satisfaz um certo tipo de igualdade envolvendo suas derivadas. Para provar isso, vamos precisar usar o conceito de homogeneidade e derivadas parciais. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser positivamente homogênea de grau f(t x) = t^m f(x) . Isso quer dizer que para todo vetor em e para todo escalar positivo , temos:
Isso é a definição que vamos usar para explorar as propriedades da função .

Passo 3

Agora, para conectar essa propriedade com as derivadas parciais da função, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddt f(t x) = sumi=1^n partial fpartial xi(t x) cdot ddt(t xi) = sumi=1^n partial fpartial xi(t x) cdot xi . Ou seja, vamos derivar ddt ( t^m f(x) ) = m t^m-1 f(x) e sumi=1^n xi partial fpartial xi(t x) = m t^m-1 f(x) em relação a . Lembre-se que é continuamente diferenciável, então podemos trocar a ordem da derivada e da função.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Então, igualando as duas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa igualdade no ponto sumi=1^n xi partial fpartial xi(x) = m cdot 1^m-1 f(x) = m f(x) . Isso é útil porque simplifica a equação e nos dá uma relação direta na forma que queremos.
Substituindo sumi=1^n xi partial fpartial xi(x) = m f(x) :
Então, temos:

Passo 5

Finalmente, vamos isolar f(x) = 1m sumi=1^n xi partial fpartial xi(x) na equação acima para chegar à forma que o teorema propõe. Basta dividir ambos os lados por :
Isso mostra que a função pode ser expressa como a média ponderada de suas derivadas parciais, ponderadas pelos componentes de .

Resposta

Portanto, demonstramos que se f(x) = 1m sumi=1^n xi partial fpartial xi(x) é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau , então:
para todo . Pronto!

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