Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(l) A série de potências
é convergente no intervalo
e sua soma é igual a
.
(l) A série de potências
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre uma série de potências:
A afirmação diz que essa série converge no intervalo
e que a soma dela é igual a
Para analisar isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, intervalo de convergência e a soma de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o intervalo de convergência da série
Essa é uma série geométrica com termo geral
. Para séries geométricas do tipo
, a série converge se
.
Aqui, podemos reescrever
como:
Então, a razão
é
. Para a série convergir, precisamos que
, ou seja:
Então, o intervalo de convergência é
, o que confirma a primeira parte da afirmação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a soma da série. Sabemos que para uma série geométrica
que converge, a soma é dada por:
No nosso caso, o primeiro termo da série é
, e a razão é
. Substituindo na fórmula:
Isso confirma que a soma da série é realmente
, conforme afirmado.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A série
converge no intervalo
e sua soma é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a superfície
sendo a região da calota superior do elipsoide
compreendida entre
e
. Descreva
na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de
sobre
.
Ache a integral indefinida:
(f)
(f)
Ache a integral indefinida:
(h)
(h)
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.