Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(l) A série de potências sumn=1^infty(-1)^n 3^n x^n é convergente no intervalo (-13, 13) e sua soma é igual a S=-3 x1+3 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação sobre uma série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n 3^n x^n
A afirmação diz que essa série converge no intervalo S = -3x1 + 3x e que a soma dela é igual a
Para analisar isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, intervalo de convergência e a soma de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n 3^n x^n
Essa é uma série geométrica com termo geral an = [(-1) cdot 3x]^n . Para séries geométricas do tipo |3x| < 1 implies |x| < 13 , a série converge se .
Aqui, podemos reescrever como:
Então, a razão é . Para a série convergir, precisamos que , ou seja:
Então, o intervalo de convergência é , o que confirma a primeira parte da afirmação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma da série. Sabemos que para uma série geométrica S = ar1 - r que converge, a soma é dada por:
S = -3x1 - (-3x) = -3x1 + 3x
No nosso caso, o primeiro termo da série é , e a razão é . Substituindo na fórmula:
Isso confirma que a soma da série é realmente , conforme afirmado.

Resposta

A afirmação é verdadeira. A série converge no intervalo e sua soma é igual a .

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Ache a integral indefinida:
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Ache a integral indefinida:
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Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
integral duplaD y^2 e^x y d A , onde D é limitada por x=y, y=4 e x=0 é