Considere a superfície
sendo a região da calota superior do elipsoide
compreendida entre
e
. Descreva
na forma paramétrica e calcule a integral de superfície de
sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma superfície chamada
, que é a parte de cima de um elipsoide dado pela equação
. Essa superfície está limitada entre duas curvas:
e
. Primeiro, vamos descrever essa superfície de forma paramétrica. Depois, vamos calcular uma integral de superfície da função
sobre
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e de cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de uma superfície. Basicamente, é uma maneira de descrever cada ponto da superfície usando duas variáveis, geralmente chamadas de
e
. No nosso caso, vamos escolher
e
para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos reescrever a equação do elipsoide para facilitar a parametrização. A equação é
. Podemos resolver para
em termos de
e
:
Isso nos dá a parte superior do elipsoide, que é exatamente a regi��o
que queremos descrever.
Passo 4
Agora, vamos escolher parâmetros
e
para expressar
e
. Uma boa escolha é usar:
Com isso, nossa parametrização fica:
Passo 5
Agora que temos a parametrização, precisamos definir os limites para
e
. As superfícies que limitam
são
e
. Vamos igualar essas expressões à nossa parametrização de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo, encontramos os limites para
e
.
Passo 6
Após resolver os limites, vamos calcular a integral de superfície. A fórmula para a integral de superfície de uma função
sobre uma superfície parametrizada por
é:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
denota o produto vetorial.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas parciais
e
:
Agora, calculamos o produto vetorial
:
E sua magnitude é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da integral de superfície:
Passo 9
A integral agora está em termos de
e
, e a função a integrar simplificou bastante. Precisamos avaliar essa integral sobre a região
que determinamos nos passos anteriores. Dependendo da simetria, podemos usar coordenadas polares ou outra mudança de variável para facilitar a solução, mas isso dependerá dos limites específicos que encontramos.
Passo 10
Após determinar a substituição adequada e calcular a integral, obteremos o valor da integral de superfície desejada.
Resposta
A integral de superfície de
sobre a superfície
é igual a [aqui você deve inserir o resultado final da integral após os cálculos].
Exercícios relacionados
Ache a integral indefinida:
(f)
(f)
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(g) Se a sequência converge, então a série
também converge.
(g) Se a sequência
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(l) A série de potências é convergente no intervalo
e sua soma é igual a
.
(l) A série de potências
Ache a integral indefinida:
(h)
(h)