Ache a interseção do plano pi: 2 x+2 y-z-5=0 com a reta que passa pelo ponto A(1,3,1) e tem a direção do vetor v=(0,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor intercepta o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a parametrização de retas e a substituição nas equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Uma reta pode ser descrita por um ponto por onde passa e um vetor diretor. No nosso caso, o ponto é x = 1 + 0t y = 3 + 2t z = 1 + 1t e o vetor diretor é x = 1 y = 3 + 2t z = 1 + t . A equação paramétrica fica assim:
Simplificando:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões paramétricas de 2x + 2y - z - 5 = 0 , 2(1) + 2(3 + 2t) - (1 + t) - 5 = 0 e na equação do plano para encontrar o valor de que satisfaz a equação. Substituindo:
Substituindo , e :

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar 2 + 6 + 4t - 1 - t - 5 = 0 :
(2 + 6 - 1 - 5) + (4t - t) = 0
Simplificando os termos:
2 + 3t = 0
3t = -2 implies t = -23
Isolando :

Passo 5

Com o valor de x = 1 encontrado, vamos substituir de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
y = 3 + 2(-23) = 3 - 43 = 53
z = 1 + (-23) = 13

Resposta

O ponto de interseção é .

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