Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação y^2-4 y-8 x+28=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz de uma parábola com a equação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos transformar a equação para a forma padrão da parábola e, a partir daí, identificar os elementos que precisamos.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação da parábola para facilitar a identificação dos elementos. Começamos agrupando os termos de y^2 - 4y = 8x - 28 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado com os termos de (-42)^2 = (-2)^2 = 4 . Para isso, pegamos o coeficiente de y^2 - 4y + 4 = 8x - 28 + 4 , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos 4 em ambos os lados da equação:

Passo 4

Simplificando ambos os lados, temos:
(y - 2)^2 = 8x - 24
Agora, isolamos o termo (y - 2)^2 = 8(x - 3) :

Passo 5

Essa equação está na forma padrão da parábola (y - 2)^2 = 8(x - 3) , onde:
  • é o vértice da parábola.
  • é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
  • então

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar o foco e a diretriz.
  • O foco está a uma distância à direita do vértice, já que a parábola se abre para a direita.
  • A diretriz é uma reta vertical a uma distância à esquerda do vértice.

Passo 7

Calculando o foco:
h + p = 3 + 2 = 5
Então, as coordenadas do foco são x = h - p = 3 - 2 = 1 .
Calculando a diretriz:
Então, a equação da diretriz é .

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

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