Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz de uma parábola com a equação
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos transformar a equação para a forma padrão da parábola e, a partir daí, identificar os elementos que precisamos.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação da parábola para facilitar a identificação dos elementos. Começamos agrupando os termos de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado com os termos de
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos 4 em ambos os lados da equação:
Passo 4
Simplificando ambos os lados, temos:
Agora, isolamos o termo
:
Passo 5
Essa equação está na forma padrão da parábola
, onde:
-
é o vértice da parábola. -
é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
-
-
-
então
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar o foco e a diretriz.
- O foco está a uma distância
à direita do vértice, já que a parábola se abre para a direita. - A diretriz é uma reta vertical a uma distância
à esquerda do vértice.
Passo 7
Calculando o foco:
Então, as coordenadas do foco são
.
Calculando a diretriz:
Então, a equação da diretriz é
.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz: