Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vértice, do foco e a equação da diretriz de uma parábola com a equação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Vamos transformar a equação para a forma padrão da parábola e, a partir daí, identificar os elementos que precisamos.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação da parábola para facilitar a identificação dos elementos. Começamos agrupando os termos de :
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado com os termos de . Para isso, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos 4 em ambos os lados da equação:
Passo 4
Simplificando ambos os lados, temos:
Agora, isolamos o termo :
Passo 5
Essa equação está na forma padrão da parábola , onde:
é o vértice da parábola.
é a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
então
Passo 6
Agora que temos , podemos encontrar o foco e a diretriz.
O foco está a uma distância à direita do vértice, já que a parábola se abre para a direita.
A diretriz é uma reta vertical a uma distância à esquerda do vértice.