Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos dois focos, a medida dos semieixos e a excentricidade da elipse de equação (x-4)^225+(y+3)^216=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma equação de uma elipse e precisamos encontrar:
  • As coordenadas do centro.
  • As coordenadas dos dois focos.
  • A medida dos semieixos.
  • A excentricidade da elipse.
Vamos usar a fórmula padrão da elipse para identificar essas informações.

Passo 2

A equação dada é (x-4)^225+(y+3)^216=1. A fórmula padrão da elipse é (x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1, onde (h,k) é o centro da elipse, a é o comprimento do semieixo maior e b é o comprimento do semieixo menor.

Passo 3

Comparando as duas equações, identificamos:
  • h = 4
  • k = -3
  • a^2 = 25 então a = 5
  • b^2 = 16 então b = 4

Passo 4

Portanto, o centro da elipse está no ponto (4, -3). Os semieixos têm medidas de 5 e 4 unidades.

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação c = raiza^2 - b^2. Calculando:
c = raiz25 - 16 = raiz9 = 3
Como o semieixo maior está no eixo x (porque a > b), os focos estão a uma distância c do centro ao longo do eixo x.

Passo 6

As coordenadas dos focos são:
  • Primeiro foco: (h + c, k) = (4 + 3, -3) = (7, -3)
  • Segundo foco: (h - c, k) = (4 - 3, -3) = (1, -3)

Passo 7

A excentricidade da elipse é dada por e = ca. Calculando:
e = 35 = 0,6

Resposta

  • Centro: (4, -3)
  • Focos: (7, -3) e (1, -3)
  • Semieixos: a = 5 e b = 4
  • Excentricidade: e = 0,6

Exercícios relacionados

Ache a interseção do plano pi: 2 x+2 y-z-5=0 com a reta que passa pelo ponto A(1,3,1) e tem a direção do vetor v=(0,2,1).
(2,5 ptos) Considere T: R^2 R^3 tal que T(-1,0)=(1,0,3) e T(1,3)=(1,-1,1). Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de R^2 e R^3.
Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de equação y^2-4 y-8 x+28=0.
Sejam T: R^3 R^3 linear, alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), a base canônica de R^3 e
[T]alpha^alpha=(rrr 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 )
(i) (1,5 pto) Encontre o polinômio característico de T, os autovalores de T e os autovetores correspondentes.