(2,5 ptos) Considere T: R^2 R^3 tal que T(-1,0)=(1,0,3) e T(1,3)=(1,-1,1). Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de R^2 e R^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma transformação linear definida por duas imagens de vetores: e . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases canônicas de e . Para isso, vamos precisar lembrar como as transformações lineares se relacionam com as matrizes e como encontrar a imagem dos vetores da base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica. No caso de , os vetores da base canônica são e . Queremos encontrar e .

Passo 3

Sabemos que T(au + bv) = aT(u) + bT(v) é linear, ou seja:
Vamos usar isso para expressar os vetores dados no enunciado em termos de e .

Passo 4

Vamos começar com T(-1,0) = -1 cdot T(e1) + 0 cdot T(e2) = -T(e1) . Como -T(e1) = (1,0,3) implies T(e1) = (-1,0,-3) , temos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos considerar T(1,3) = 1 cdot T(e1) + 3 cdot T(e2) . Como (1,-1,1) = (-1,0,-3) + 3 cdot T(e2) , temos:
Substituindo que já encontramos:
Vamos resolver para .

Passo 6

Vamos isolar 3 cdot T(e2) = (1,-1,1) - (-1,0,-3) = (1 + 1, -1 - 0, 1 + 3) = (2, -1, 4) :
T(e2) = ( 23, -13, 43 )
Portanto:

Passo 7

Agora que temos A = -1 & 23 0 & -13 -3 & 43 e , podemos construir a matriz da transformação . A matriz terá e como suas colunas:

Resposta

A matriz da transformação -1 & dfrac23 0 & -dfrac13 -3 & dfrac43 associada às bases canônicas de e é:

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(2,5 ptos) Encontre a transformação linear T: R^3 R^2 tal que:
T(1,0,0)=(1,2), T(0,1,0)=(1,3) e T(0,0,1)=(0,0)
Esboce a regiāo do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condinções dadas: 2 <= r <= 4, 0 <= theta <= pi
Ache a interseção do plano pi: 2 x+2 y-z-5=0 com a reta que passa pelo ponto A(1,3,1) e tem a direção do vetor v=(0,2,1).
Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos dois focos, a medida dos semieixos e a excentricidade da elipse de equação (x-4)^225+(y+3)^216=1.