(2,5 ptos) Considere tal que e . Determine a matriz da transformação associada às bases canônicas de e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma transformação linear definida por duas imagens de vetores: e . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases canônicas de e . Para isso, vamos precisar lembrar como as transformações lineares se relacionam com as matrizes e como encontrar a imagem dos vetores da base canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base canônica. No caso de , os vetores da base canônica são e . Queremos encontrar e .
Passo 3
Sabemos que é linear, ou seja:
Vamos usar isso para expressar os vetores dados no enunciado em termos de e .
Passo 4
Vamos começar com . Como , temos:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos considerar . Como , temos:
Substituindo que já encontramos:
Vamos resolver para .
Passo 6
Vamos isolar :
Portanto:
Passo 7
Agora que temos e , podemos construir a matriz da transformação . A matriz terá e como suas colunas:
Resposta
A matriz da transformação -1 & dfrac23 0 & -dfrac13 -3 & dfrac43 associada às bases canônicas de e é: