Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir: sumn=1^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=1^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1
Isso é parte da matéria de séries de potências, onde queremos saber para quais valores de a série “funciona” ou converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para essas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é:
an = (-1)^n x^2n+1n!(n+1)!2^2n+1
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que nos diz para olhar o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(n+1)!(n+2)!2^2(n+1)+1 div (-1)^n x^2n+1n!(n+1)!2^2n+1 :
Simplificando:
an+1an = (-1)^n+1(-1)^n cdot x^2n+3x^2n+1 cdot n!(n+1)!(n+1)!(n+2)! cdot 2^2n+12^2n+3
Isso fica:
an+1an = -1 cdot x^2 cdot 1(n+2) cdot 12^2 = -x^24(n+2)

Passo 4

Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite quando | an+1an | = x^24(n+2) vai pra infinito:
limn to infty x^24(n+2) = 0
E o limite:

Passo 5

Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de . Isso significa que o intervalo de convergência é , ou seja, todos os números reais, e o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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