Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Isso é parte da matéria de séries de potências, onde queremos saber para quais valores de a série “funciona” ou converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para essas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é:
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que nos diz para olhar o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Passo 3
Vamos calcular an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(n+1)!(n+2)!2^2(n+1)+1 div (-1)^n x^2n+1n!(n+1)!2^2n+1 :
Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite quando | an+1an | = x^24(n+2) vai pra infinito:
limn to infty x^24(n+2) = 0
E o limite:
Passo 5
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de . Isso significa que o intervalo de convergência é , ou seja, todos os números reais, e o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é .