Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Isso é parte da matéria de séries de potências, onde queremos saber para quais valores de a série “funciona” ou converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para essas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é:
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que nos diz para olhar o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando:
Isso fica:

Passo 4

Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite quando vai pra infinito:
E o limite:

Passo 5

Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de . Isso significa que o intervalo de convergência é , ou seja, todos os números reais, e o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série converge para todos os números reais. Portanto, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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