Prove as seguintes propriedades da transformada de Fourier:
2) Escala de tempo
em que é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a propriedade de escala de tempo da transformada de Fourier. Isso significa que, se a gente tem uma função , onde é uma constante que escala o tempo, queremos encontrar a transformada de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como ela se comporta quando a função é escalada no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
Essa fórmula nos mostra como transformar a função do domínio do tempo para o domínio da frequência.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de Fourier de . Vamos substituir na definição:
Aqui, estamos aplicando a transformada à função escalada no tempo.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , o que implica que e . Substituindo na integral:
Simplificando, temos:

Passo 5

Olha só, a integral que restou é exatamente a definição da transformada de Fourier de avaliada em . Ou seja:
Isso mostra que a transformada de Fourier da função escalada no tempo é igual à transformada original avaliada em e multiplicada por .

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Prove as seguintes propriedades da transformada de Fourier:
Sendo , temos:
  1. Linearidade
em que e são constantes.
Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:
Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir: