Prove as seguintes propriedades da transformada de Fourier:
2) Escala de tempo
em que
é constante.
2) Escala de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar a propriedade de escala de tempo da transformada de Fourier. Isso significa que, se a gente tem uma função
, onde
é uma constante que escala o tempo, queremos encontrar a transformada de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como ela se comporta quando a função é escalada no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função
:
Essa fórmula nos mostra como transformar a função do domínio do tempo para o domínio da frequência.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de Fourier de
. Vamos substituir
na definição:
Aqui, estamos aplicando a transformada à função escalada no tempo.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
, o que implica que
e
. Substituindo na integral:
Simplificando, temos:
Passo 5
Olha só, a integral que restou é exatamente a definição da transformada de Fourier de
avaliada em
. Ou seja:
Isso mostra que a transformada de Fourier da função escalada no tempo é igual à transformada original avaliada em
e multiplicada por
.
Resposta
Portanto, provamos que:
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Prove as seguintes propriedades da transformada de Fourier:
Sendo , temos:
Sendo
- Linearidade
em que
e
são constantes.
Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:
Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
Ache o intervalo e o raio de convergência de cada série de potência a seguir: