Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries: sumn=1^infty (n!)^2(3 n)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da razão ou o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente os testes mencionados. Vamos precisar conhecer como aplicar o teste da razão para séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da razão. Ele diz que, para uma série , a gente calcula o limite . Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, . Precisamos encontrar , que é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an = ((n+1)!)^2(3(n+1))!(n!)^2(3n)! = ((n+1)!)^2 cdot (3n)!(n!)^2 cdot (3n + 3)! :

Passo 5

Simplificando os fatoriais:
(n+1)! = (n+1) cdot n!
(3n + 3)! = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)!
Substituindo na expressão:
((n+1)(n!))^2 cdot (3n)!(n!)^2 cdot (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)! = (n+1)^2(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)

Passo 6

Agora, vamos simplificar mais um pouco:
(n+1)^2(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) = (n+1)^227n^3 + termos de menor grau
Quando (n+1)^227n^3 approx n^227n^3 = 127n é muito grande, os termos de menor grau ficam menos importantes, então podemos aproximar:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 127n = 0 vai para o infinito:

Passo 8

Como e , de acordo com o teste da razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da razão.

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