Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência/divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da razão ou o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente os testes mencionados. Vamos precisar conhecer como aplicar o teste da razão para séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da razão. Ele diz que, para uma série , a gente calcula o limite . Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, . Precisamos encontrar , que é .
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Passo 5
Simplificando os fatoriais:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, vamos simplificar mais um pouco:
Quando é muito grande, os termos de menor grau ficam menos importantes, então podemos aproximar:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando vai para o infinito:
Passo 8
Como e , de acordo com o teste da razão, a série converge.